\[\left(-3 x^{2} y\right) \cdot\left(\frac{2 x y}{6 x^{3} y^{2}}\right)\]
\[\frac{-15 a b^{2}}{-7 a^{2} b} \cdot \frac{28 a^{2} c}{30 a c^{2}}\]
\[\frac{-7 x y z^{2}}{-5 a b^{2}} \cdot \frac{10 a^{2} b}{-21 y^{2} z} \cdot (-6)\]
\[\frac{0,3 x^{4} y^{12}}{10 x^{4} y^{7}} \cdot \frac{30 a^{3} b^{4}}{9 a^{4} x^{7}}\]
\[\frac{1,2 u^{4} v^{5}}{0,4 u^{12} v^{7}} \cdot \frac{8 u}{4,8 v^{5}}\]
\[\frac{3(x y)^{2} z}{5 a b^{2}} \cdot \frac{2 a b}{x y^{2}} \cdot \frac{15 z}{2}\]
Les réponses finales sont :
Nous allons simplifier chacune des expressions étape par étape.
────────────────────────────── Question 7
Simplifier l’expression :
(–3 x² y) · ( (2 x y) / (6 x³ y²) ).
Écrivons le produit sous forme d’un seul grand rapport en multipliant le numérateur du premier terme par celui du second, et en multipliant les dénominateurs (pour le second, le dénominateur est 6 x³ y²) : (–3 x² y) · (2 x y) = –6 x^(2+1) y^(1+1) = –6 x³ y².
L’expression devient alors : (–6 x³ y²) / (6 x³ y²).
On remarque que le numérateur et le dénominateur sont identiques à part le signe, donc : (–6 x³ y²) / (6 x³ y²) = –1.
Réponse 7 : –1
────────────────────────────── Question 8
Simplifier l’expression :
[–15 a b² / (–7 a² b)] · [28 a² c / (30 a c²)].
D’abord, simplifions la première fraction :
–15 a b² / –7 a² b.
Les signes négatifs s’annulent (– / – = +) et on simplifie les
puissances : a : a / a² = 1/a,
b : b² / b = b.
On obtient : 15 b / (7 a).
Simplifions ensuite la deuxième fraction :
28 a² c / (30 a c²).
Les simplifications possibles : a : a² / a = a,
c : c / c² = 1/c,
et 28/30 se réduit en divisant numérateur et dénominateur par 2 :
28/30 = 14/15.
On obtient : (14 a) / (15 c).
Le produit des deux fractions donne : (15 b / (7 a)) · ((14 a)
/ (15 c)).
On annule 15 et a (15/15 = 1 et a/a = 1) : (14 b) / (7 c).
Simplifions ensuite le coefficient numérique : 14 / 7 = 2.
Ainsi, l’expression se simplifie en : 2 b / c.
Réponse 8 : (2b)/c
────────────────────────────── Question 9
Simplifier l’expression :
[–7 x y z² / (–5 a b²)] · [10 a² b / (–21 y² z)] · (–6).
Regroupons les trois facteurs en un grand produit. Pour bien
suivre, écrivons les numérateurs et dénominateurs : Numérateur = (–7 x
y z²) · (10 a² b) · (–6).
Dénominateur = (–5 a b²) · (–21 y² z).
Calculons d’abord le signe :
Dans le numérateur, deux nombres négatifs (–7 et –6) multipliés par
+10 donnent :
(–7) · 10 · (–6) = 420.
Dans le dénominateur, (–5) · (–21) = 105.
Ainsi, le coefficient numérique devient 420 / 105.
Simplifions 420 / 105 : 420 ÷ 105 = 4.
Réécrivons les variables en détaillant leurs exposants :
Dans le numérateur : x¹, y¹, z², a², b¹.
Dans le dénominateur : a¹, b², y², z¹.
Annulons les variables similaires en soustrayant les exposants :
x : x reste x (il n’y a pas x dans le dénominateur).
a : a² / a = a^(2–1) = a.
b : b / b² = 1/b (on a b^(1–2) = b^(–1)).
y : y / y² = 1/y.
z : z² / z = z.
Ainsi, après simplification, on obtient : 4 · (a · x · z) / (b · y).
Réponse 9 : (4 a x z) / (b y)
────────────────────────────── Question 10
Simplifier l’expression :
[0,3 x⁴ y¹² / (10 x⁴ y⁷)] · [30 a³ b⁴ / (9 a⁴ x⁷)].
Pour éviter les décimales, remarquons que 0,3 peut s’écrire sous forme fractionnaire (0,3 = 3/10). La première fraction devient donc : (3/10 x⁴ y¹²) / (10 x⁴ y⁷) = (3 x⁴ y¹²) / (10·10 x⁴ y⁷) = (3 x⁴ y¹²) / (100 x⁴ y⁷).
Simplifions la première fraction en annulant x⁴ et en soustrayant
les exposants de y : x⁴ / x⁴ = 1,
y¹² / y⁷ = y⁵. On obtient : 3 y⁵ / 100.
Regardons la deuxième fraction :
30 a³ b⁴ / (9 a⁴ x⁷).
Simplifions le coefficient numérique : 30/9 = 10/3 (en divisant
numérateur et dénominateur par 3).
Pour les variables :
a³ / a⁴ = 1/a,
les variables b⁴ restent au numérateur et x⁷ reste au
dénominateur.
On a donc : (10 b⁴) / (3 a x⁷).
Le produit des deux fractions est : (3 y⁵ / 100) · (10 b⁴ / (3
a x⁷)).
Les 3 se simplifient : = (y⁵ · 10 b⁴) / (100 a x⁷).
Simplifions ensuite le coefficient numérique : 10/100 = 1/10.
L’expression finale est : (b⁴ y⁵) / (10 a x⁷).
Réponse 10 : (b⁴ y⁵)/(10 a x⁷)
────────────────────────────── Question 11
Simplifier l’expression :
[1,2 u⁴ v⁵ / (0,4 u¹² v⁷)] · [8 u / (4,8 v⁵)].
Commençons par la première fraction. On peut remarquer que 1,2 ÷
0,4 = 3.
Les puissances de u et v se simplifient en soustrayant les exposants :
u⁴ / u¹² = u^(4–12) = u^(–8),
v⁵ / v⁷ = v^(5–7) = v^(–2).
Cette fraction s’écrit donc : 3/(u⁸ v²).
La deuxième fraction est : 8 u / (4,8 v⁵).
Calculons 8 / 4,8. Pour simplifier, on peut multiplier numérateur et
dénominateur par 10 : 80 / 48, que l’on simplifie en divisant par 16 :
80 ÷ 16 = 5 et 48 ÷ 16 = 3.
Donc 8/4,8 = 5/3.
La fraction devient ainsi : (5u) / (3 v⁵).
Le produit des deux fractions donne : [3/(u⁸ v²)] · [(5u)/(3
v⁵)].
Les 3 se simplifient : = (5u) / (u⁸ v² · 3 v⁵/3) mais comme les 3
se simplifient directement, on a : = (5u) / (u⁸ v^(2+5)) = (5u) / (u⁸
v⁷).
Simplifions la puissance de u : u / u⁸ = 1/u⁷.
On obtient donc : 5/(u⁷ v⁷).
Réponse 11 : 5/(u⁷ v⁷)
────────────────────────────── Question 12
Simplifier l’expression :
[3 (x y)² z / (5 a b²)] · [2 a b / (x y²)] · [15 z / 2].
D’abord, développons (x y)² = x² y².
La première fraction devient : 3 x² y² z / (5 a b²).
Multiplions ensuite la première fraction par la deuxième : [3
x² y² z / (5 a b²)] · [2 a b / (x y²)].
Multiplions numérateurs et dénominateurs : Numérateur : 3 x² y² z ·
2 a b = 6 a b x² y² z,
Dénominateur : 5 a b² · x y² = 5 a b² x y². Simplifions en annulant
les facteurs communs : a dans le numérateur et dénominateur : a/a =
1,
x² / x = x,
y² / y² = 1,
b / b² = 1/b. On obtient : 6 x z / (5 b).
Multiplions ensuite par la troisième fraction :
[6 x z / (5 b)] · [15 z / 2].
Multiplions les coefficients numériques : 6 × 15 = 90 et 5 × 2 =
10, donc 90/10 = 9.
Multiplions les variables : x · z · z = x z². Ainsi, le résultat
est : 9 x z² / b.
Réponse 12 : (9 x z²)/b
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
Chaque étape a permis d’annuler les facteurs communs et de simplifier les coefficients numériques ainsi que les puissances des variables.