Exercice 16

Question : Effectue et réduis les expressions suivantes.

1. \(\left(3x^{3} - 5x^{2} + 10\right) + \left(2x^{3} - 4x^{2} + 8\right) =\)

2. \(\left(4x^{2} + 3y\right) \cdot \left(-x + 5y\right) =\)

3. \(7x \cdot \left(3y \cdot x^{2}\right) =\)

4. \((2x) \cdot \left(3y - x^{2}\right) =\)

5. \(6y^{3} + \left(9y^{3} - 4\right) - 12 =\)

6. \(3y^{2} - 5y^{2} \cdot (10y - 25) =\)

7. \(5x + 7x \cdot (4x - 2) =\)

8. \(-\left(4x^{3} + 15xy\right) - 8x \cdot \left(-6x^{2} - 9y\right) =\)

9. \(50 - (2x - 3)(3x - 20) =\)

10. \((5x + 10) - (2x - 5)(3x + 3) =\)

Réponse

Voici le récapitulatif des réponses en version très courte :

1. 5x³ – 9x² + 18
   
2. –4x³ + 20x²y – 3xy + 15y²
   
3. 21x³y
   
4. –2x³ + 6xy
   
5. 15y³ – 16
   
6. –50y³ + 128y²
   
7. 28x² – 9x
   
8. 44x³ + 57xy
   
9. –6x² + 49x – 10
   
10. –6x² + 14x + 25

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chacune des expressions pas à pas.

────────────────────────────── a) Calculer et réduire
  Expression : (3x³ – 5x² + 10) + (2x³ – 4x² + 8)

1. Regroupons les termes semblables :
     – Termes en x³ : 3x³ + 2x³ = 5x³
     – Termes en x² : (–5x²) + (–4x²) = –9x²
     – Termes constants : 10 + 8 = 18

2. L’expression réduite est :
     5x³ – 9x² + 18

────────────────────────────── b) Calculer et réduire
  Expression : (4x² + 3y) · (–x + 5y)

1. Multiplions chaque terme du premier parenthèse par chaque terme du second :
     – 4x² · (–x) = –4x³
     – 4x² · 5y = 20x²y
     – 3y · (–x) = –3xy
     – 3y · 5y = 15y²

2. L’expression développée et réduite est :
     –4x³ + 20x²y – 3xy + 15y²

────────────────────────────── c) Calculer et réduire
  Expression : 7x · (3y · x²)

1. D’abord, calculons le produit à l’intérieur de la parenthèse :
     3y · x² = 3x²y

2. Ensuite, multiplions par 7x :
     7x · (3x²y) = 21x³y

────────────────────────────── d) Calculer et réduire
  Expression : (2x) · (3y – x²)

1. Distribuons 2x sur les deux termes de la parenthèse :
     – 2x · 3y = 6xy
     – 2x · (–x²) = –2x³

2. L’expression finale est :
     –2x³ + 6xy

────────────────────────────── e) Calculer et réduire
  Expression : 6y³ + (9y³ – 4) – 12

1. Commençons par enlever les parenthèses et regrouper les termes semblables :
     – Termes en y³ : 6y³ + 9y³ = 15y³
     – Termes constants : –4 – 12 = –16

2. L’expression réduite est :
     15y³ – 16

────────────────────────────── f) Calculer et réduire
  Expression : 3y² – 5y² · (10y – 25)

1. Effectuons la multiplication dans le deuxième terme :
     – 5y² · 10y = 50y³
     – 5y² · (–25) = –125y²

2. L’expression devient :
     3y² – [50y³ – 125y²]
     N’oublions pas que le signe moins devant la parenthèse change les signes à l’intérieur. Ainsi,
     3y² – 50y³ + 125y²

3. Regroupons les termes semblables :
     – Termes en y³ : –50y³
     – Termes en y² : 3y² + 125y² = 128y²

4. L’expression réduite est :
     –50y³ + 128y²

────────────────────────────── g) Calculer et réduire
  Expression : 5x + 7x · (4x – 2)

1. Distribuons 7x sur la parenthèse :
     – 7x · 4x = 28x²
     – 7x · (–2) = –14x

2. Ensuite, additionnons avec 5x :
     28x² + (5x – 14x) = 28x² – 9x

3. L’expression finale est :
     28x² – 9x

────────────────────────────── h) Calculer et réduire
  Expression : –(4x³ + 15xy) – 8x · (–6x² – 9y)

1. Développons le premier terme :
     –(4x³ + 15xy) = –4x³ – 15xy

2. Pour le second terme, multiplions 8x par chaque terme :
     –8x · (–6x²) = +48x³
     –8x · (–9y) = +72xy

3. Additionnons les deux résultats :
     –4x³ – 15xy + 48x³ + 72xy
     Regroupons les termes semblables :
     – Termes en x³ : –4x³ + 48x³ = 44x³
     – Termes en xy : –15xy + 72xy = 57xy

4. L’expression réduite est :
     44x³ + 57xy

────────────────────────────── i) Calculer et réduire
  Expression : 50 – (2x – 3)(3x – 20)

1. Tout d’abord, développons le produit (2x – 3)(3x – 20) en utilisant la méthode du développement (produit de deux binômes) :
     – 2x · 3x = 6x²
     – 2x · (–20) = –40x
     – (–3) · 3x = –9x
     – (–3) · (–20) = 60

2. En additionnant les termes en x, on obtient :
     –40x – 9x = –49x
     Le produit développé est donc : 6x² – 49x + 60

3. Remplaçons dans l’expression initiale :
     50 – (6x² – 49x + 60)
     Distribuons le signe moins :
     50 – 6x² + 49x – 60

4. Regroupons les termes constants et plaçons le terme en x² en premier :
     –6x² + 49x + (50 – 60) = –6x² + 49x – 10

5. L’expression réduite est :
     –6x² + 49x – 10

────────────────────────────── j) Calculer et réduire
  Expression : (5x + 10) – (2x – 5)(3x + 3)

1. Développons d’abord le produit (2x – 5)(3x + 3) :
     – 2x · 3x = 6x²
     – 2x · 3 = 6x
     – (–5) · 3x = –15x
     – (–5) · 3 = –15

2. Regroupons les termes en x :
     6x – 15x = –9x
     Le produit devient : 6x² – 9x – 15

3. Remplaçons dans l’expression initiale :
     (5x + 10) – (6x² – 9x – 15)
     Distribuons le signe moins :
     5x + 10 – 6x² + 9x + 15

4. Regroupons les termes semblables :
     – Terme en x² : –6x²
     – Termes en x : 5x + 9x = 14x
     – Termes constants : 10 + 15 = 25

5. L’expression finale est :
     –6x² + 14x + 25

────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :

1. 5x³ – 9x² + 18
   
2. –4x³ + 20x²y – 3xy + 15y²
   
3. 21x³y
   
4. –2x³ + 6xy
   
5. 15y³ – 16
   
6. –50y³ + 128y²
   
7. 28x² – 9x
   
8. 44x³ + 57xy
   
9. –6x² + 49x – 10
   
10. –6x² + 14x + 25

Chaque étape a été expliquée clairement pour que le raisonnement soit compréhensible.