Développez le produit \(\left(x^{2} + x + 1\right) \cdot (x - 1)\).
Développez le produit \((x + 3) \cdot \left(x^{2} - 4x + 4\right)\).
Développez le produit \(\left(a^{2} + 2\right) \cdot \left(a^{2} + a - 1\right)\).
Développez le produit \((2x - 2) \cdot \left(x^{2} + x - 1\right)\).
Développez le produit \((2a + b + 1) \cdot (a - 2b)\).
Développez le produit \((2x - y + 4) \cdot (3x + 2y)\).
Réponses succinctes :
Voici la correction détaillée pour chacun des exercices.
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Exercice 1
Développons le produit (x² + x + 1) · (x – 1).
On utilise la distributivité en multipliant chaque terme du
premier polynôme par le second :
x² · (x – 1) + x · (x – 1) + 1 · (x – 1).
Calculons chaque produit :
• x² · (x – 1) = x³ – x²
• x · (x – 1) = x² – x
• 1 · (x – 1) = x – 1
On additionne les résultats :
x³ – x² + x² – x + x – 1
Regroupons les termes semblables :
– x² + x² = 0 et – x + x = 0,
il reste donc : x³ – 1.
Réponse de l’exercice 1 : x³ – 1.
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Exercice 2
Développons le produit (x + 3) · (x² – 4x + 4).
Distribuons (x + 3) sur le second polynôme :
x · (x² – 4x + 4) + 3 · (x² – 4x + 4).
Calculons chaque produit :
• x · (x² – 4x + 4) = x³ – 4x² + 4x
• 3 · (x² – 4x + 4) = 3x² – 12x + 12
Additionnons les deux résultats :
x³ – 4x² + 4x + 3x² – 12x + 12
Regroupons et simplifions :
– 4x² + 3x² = – x²
4x – 12x = – 8x
Résultat final : x³ – x² – 8x + 12.
Réponse de l’exercice 2 : x³ – x² – 8x + 12.
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Exercice 3
Développons le produit (a² + 2) · (a² + a – 1).
Utilisons la distributivité :
a² · (a² + a – 1) + 2 · (a² + a – 1).
Calculons chaque produit :
• a² · (a² + a – 1) = a⁴ + a³ – a²
• 2 · (a² + a – 1) = 2a² + 2a – 2
Additionnons les deux résultats :
a⁴ + a³ – a² + 2a² + 2a – 2
Regroupons les termes semblables :
– a² + 2a² = a²
On obtient : a⁴ + a³ + a² + 2a – 2.
Réponse de l’exercice 3 : a⁴ + a³ + a² + 2a – 2.
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Exercice 4
Développons le produit (2x – 2) · (x² + x – 1).
Raisonnement de la distributivité :
2x · (x² + x – 1) – 2 · (x² + x – 1).
Calculons chaque multiplication :
• 2x · (x² + x – 1) = 2x³ + 2x² – 2x
• (–2) · (x² + x – 1) = –2x² – 2x + 2
Additionnons les deux résultats :
2x³ + 2x² – 2x – 2x² – 2x + 2
Simplifions en regroupant :
2x² – 2x² = 0
– 2x – 2x = – 4x
On obtient : 2x³ – 4x + 2.
Réponse de l’exercice 4 : 2x³ – 4x + 2.
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Exercice 5
Développons le produit (2a + b + 1) · (a – 2b).
Appliquons la distributivité à chaque terme du premier polynôme
:
2a · (a – 2b) + b · (a – 2b) + 1 · (a – 2b).
Calculons les produits :
• 2a · (a – 2b) = 2a² – 4ab
• b · (a – 2b) = ab – 2b²
• 1 · (a – 2b) = a – 2b
Additionnons les résultats :
2a² – 4ab + ab – 2b² + a – 2b
Regroupons les termes semblables :
– 4ab + ab = – 3ab
Le résultat final devient : 2a² – 3ab + a – 2b² – 2b.
Réponse de l’exercice 5 : 2a² – 3ab + a – 2b² – 2b.
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Exercice 6
Développons le produit (2x – y + 4) · (3x + 2y).
Distribuons chaque terme du premier polynôme sur le second
:
2x · (3x + 2y) + (–y) · (3x + 2y) + 4 · (3x + 2y).
Calculons chaque produit :
• 2x · (3x + 2y) = 6x² + 4xy
• (–y) · (3x + 2y) = – 3xy – 2y²
• 4 · (3x + 2y) = 12x + 8y
Additionnons ces résultats :
6x² + 4xy – 3xy – 2y² + 12x + 8y
Simplifions en regroupant les termes semblables :
4xy – 3xy = xy
Le résultat final est : 6x² + xy + 12x – 2y² + 8y.
Réponse de l’exercice 6 : 6x² + xy + 12x – 2y² + 8y.
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Chaque exercice a été développé en appliquant la propriété distributive,
en multipliant chaque terme, puis en regroupant les termes semblables
pour simplifier l’expression finale.