Exercice 8

1. Simplifiez l’expression suivante :

\[2ab^{2} \cdot (3ab - 1) + (-2b + 5ab^{2}) \cdot 3ab\]

2. Simplifiez l’expression suivante :

\[2y \cdot (-3y + 4x^{2}y) - (2x^{2} - 3) \cdot y^{2}\]

3. Simplifiez l’expression suivante :

\[(-3w^{2}) \cdot (2w - wz - 1) - (3 - 2wz + w) \cdot 2w^{2}\]

4. Simplifiez l’expression suivante :

\[\frac{3}{2}a^{2} \cdot \left(\frac{2}{3}b^{2} + 4a\right) + \frac{4}{3}b^{2} \cdot \left(3a^{2} - \frac{3}{8}b\right)\]

5. Simplifiez l’expression suivante :

\[\frac{1}{5}xy^{2} \cdot (5x^{2} + xy^{2}) - \frac{2}{5}x^{2} \cdot (10xy^{2} - 2y^{2})\]

6. Simplifiez l’expression suivante :

\[\frac{2}{3}ab \cdot \left(\frac{3}{4}b - \frac{1}{2}a^{2}\right) - \left(\frac{8}{9}a^{3} + \frac{4}{3}ab\right) \cdot \frac{3}{4}b\]

Réponse

Voici le résumé final des simplifications :

1. 21a²b³ – 8ab²
   
2. 6x²y² – 3y² (ou 3y²(2x² – 1))
   
3. 7w³z – 8w³ – 3w² (ou w²(7wz – 8w – 3))
   
4. 6a³ + 5a²b² – (1/2)b³
   
5. –3x³y² + (4/5)x²y² + (1/5)x²y⁴
   
6. –a³b – (1/2)ab² (ou –ab(a² + (1/2)b))

Corrigé détaillé

Nous allons simplifier chacune des expressions pas à pas. Pour chaque exercice, nous procéderons à la distribution (multiplication), puis nous regrouperons les termes semblables.

────────────────────────────── Exercice 1)

Exprimer : 2ab² · (3ab – 1) + (–2b + 5ab²) · 3ab

1. Développer chaque produit :  • Pour le premier terme :   – 2ab² · (3ab) = 6a²b³
     – 2ab² · (–1) = –2ab²

 • Pour le second terme :   – (–2b) · 3ab = –6ab²
  – 5ab² · 3ab = 15a²b³

2. Écrire la somme des développements :  6a²b³ – 2ab² – 6ab² + 15a²b³

3. Regrouper les termes semblables :  • Les termes en a²b³ : 6a²b³ + 15a²b³ = 21a²b³
    • Les termes en ab² : –2ab² – 6ab² = –8ab²

Le résultat final est :  21a²b³ – 8ab²

────────────────────────────── Exercice 2)

Exprimer : 2y · (–3y + 4x²y) – (2x² – 3) · y²

1. Distribuer dans la première parenthèse :  • 2y · (–3y) = –6y²
    • 2y · (4x²y) = 8x²y²

2. Distribuer dans la deuxième parenthèse (attention au signe moins devant la parenthèse) :  (2x² – 3) · y² = 2x²y² – 3y² ; puis on applique le signe négatif :  – (2x²y² – 3y²) = –2x²y² + 3y²

3. Additionner les résultats :  –6y² + 8x²y² – 2x²y² + 3y²

4. Regrouper les termes semblables :  • Pour x²y² : 8x²y² – 2x²y² = 6x²y²
    • Pour y² : –6y² + 3y² = –3y²

Le résultat final est :  6x²y² – 3y²  ou encore factorisé : 3y² · (2x² – 1)

────────────────────────────── Exercice 3)

Exprimer : (–3w²) · (2w – wz – 1) – (3 – 2wz + w) · 2w²

1. Développer le premier produit :  • (–3w²) · 2w = –6w³
    • (–3w²) · (–wz) = +3w³z
    • (–3w²) · (–1) = +3w²

Le premier développement donne : –6w³ + 3w³z + 3w²

2. Développer le second produit :  • 3 · 2w² = 6w²
    • (–2wz) · 2w² = –4w³z
    • w · 2w² = 2w³

Le second développement donne : 6w² – 4w³z + 2w³

3. Appliquer la soustraction :  [–6w³ + 3w³z + 3w²] – [6w² – 4w³z + 2w³]

4. Regrouper les termes similaires en faisant attention aux signes :  • Termes en w³ : –6w³ – 2w³ = –8w³
    • Termes en w³z : 3w³z + 4w³z = 7w³z
    • Termes en w² : 3w² – 6w² = –3w²

Le résultat final est :  7w³z – 8w³ – 3w²  ou en factorisant w² :  w² · (7wz – 8w – 3)

────────────────────────────── Exercice 4)

Exprimer : (3/2)a² · [(2/3)b² + 4a] + (4/3)b² · [3a² – (3/8)b]

1. Développer la première parenthèse :  • (3/2)a² · (2/3)b² = (3·2)/(2·3) a²b² = 1·a²b² = a²b²
    • (3/2)a² · 4a = (3·4)/(2) a³ = 6a³

Le premier développement donne : a²b² + 6a³

2. Développer la deuxième parenthèse :  • (4/3)b² · 3a² = (4·3)/(3) a²b² = 4a²b²
    • (4/3)b² · (–3/8)b = –(4·3)/(3·8) b³ = –(12/24)b³ = –(1/2)b³

Le second développement donne : 4a²b² – (1/2)b³

3. Additionner les deux résultats :  a²b² + 6a³ + 4a²b² – (1/2)b³

4. Regrouper les termes semblables :  • a²b² + 4a²b² = 5a²b²

Le résultat final est :  6a³ + 5a²b² – (1/2)b³

────────────────────────────── Exercice 5)

Exprimer : (1/5)xy² · (5x² + xy²) – (2/5)x² · (10xy² – 2y²)

1. Développer le premier terme :  • (1/5)xy² · 5x² = (5/5) x³y² = x³y²
    • (1/5)xy² · xy² = (1/5) x²y⁴

Le premier développement donne : x³y² + (1/5)x²y⁴

2. Développer le deuxième terme :  • (2/5)x² · 10xy² = (20/5)x³y² = 4x³y²
    • (2/5)x² · (–2y²) = –(4/5)x²y²

Le deuxième développement donne : 4x³y² – (4/5)x²y²

3. Soustraire le deuxième résultat du premier :  x³y² + (1/5)x²y⁴ – [4x³y² – (4/5)x²y²]

4. Distribuer le signe négatif dans la deuxième parenthèse :  x³y² + (1/5)x²y⁴ – 4x³y² + (4/5)x²y²

5. Regrouper les termes semblables :  • Pour x³y² : x³y² – 4x³y² = –3x³y²
    • Les autres termes restent tels quels.

Le résultat final est :  –3x³y² + (4/5)x²y² + (1/5)x²y⁴

On peut également factoriser x²y² si l’on le souhaite :  x²y² · [–3x + (4/5) + (1/5)y²]

────────────────────────────── Exercice 6)

Exprimer : (2/3)ab · [(3/4)b – (1/2)a²] – [(8/9)a³ + (4/3)ab] · (3/4)b

1. Développer la première parenthèse :  • (2/3)ab · (3/4)b = (2·3)/(3·4) a b² = (6/12) a b² = (1/2)ab²
    • (2/3)ab · (–1/2)a² = –(2/3·1/2)a³b = –(1/3)a³b

Le premier développement donne : (1/2)ab² – (1/3)a³b

2. Développer la deuxième parenthèse :  • (8/9)a³ · (3/4)b = (8·3)/(9·4)a³b = (24/36)a³b = (2/3)a³b
    • (4/3)ab · (3/4)b = (4·3)/(3·4)ab² = ab²

Le second développement donne : (2/3)a³b + ab²

3. Appliquer le signe moins devant la seconde parenthèse :  – [(2/3)a³b + ab²] = –(2/3)a³b – ab²

4. Additionner avec le premier développement :  (1/2)ab² – (1/3)a³b – (2/3)a³b – ab²

5. Regrouper les termes semblables :  • Pour le terme en a³b : –(1/3)a³b – (2/3)a³b = –a³b
    • Pour le terme en ab² : (1/2)ab² – ab² = –(1/2)ab²

Le résultat final est :  –a³b – (1/2)ab²   ou, en factorisant ab, on peut écrire : –ab · (a² + (1/2)b)

────────────────────────────── Conclusion

Les simplifications finales de chaque exercice sont :

1. 21a²b³ – 8ab²
   
2. 6x²y² – 3y² ou 3y²(2x² – 1)
   
3. 7w³z – 8w³ – 3w² ou w²(7wz – 8w – 3)
   
4. 6a³ + 5a²b² – (1/2)b³
   
5. –3x³y² + (4/5)x²y² + (1/5)x²y⁴
   
6. –a³b – (1/2)ab² ou –ab(a² + (1/2)b)

Chaque étape a été détaillée afin de mieux comprendre le processus de simplification.