Écrire aussi simplement que possible chacune des expressions suivantes :
Résumé des simplifications :
\[ \left(b^{2} + b^{2} + b \cdot b \cdot b + b \cdot b\right)^{2} \]
Étape 1 : Simplifier l’intérieur des parenthèses
Commençons par simplifier chaque terme à l’intérieur des parenthèses.
\[ b \cdot b \cdot b = b^{3} \] \[ b \cdot b = b^{2} \]
Ainsi, l’expression devient :
\[ \left(b^{2} + b^{2} + b^{3} + b^{2}\right)^{2} \]
Étape 2 : Combiner les termes similaires
Additionnons les termes en \(b^{2}\) :
\[ b^{2} + b^{2} + b^{2} = 3b^{2} \]
Donc, l’expression simplifiée à l’intérieur des parenthèses est :
\[ 3b^{2} + b^{3} \]
Étape 3 : Factoriser si possible
On peut factoriser \(b^{2}\) :
\[ 3b^{2} + b^{3} = b^{2}(3 + b) \]
Étape 4 : Appliquer l’exposant extérieur
Maintenant, élevons le tout au carré :
\[ \left(b^{2}(3 + b)\right)^{2} = \left(b^{2}\right)^{2} \cdot (3 + b)^{2} = b^{4} \cdot (3 + b)^{2} \]
Étape 5 : Développer si nécessaire
Si nécessaire, on peut développer \((3 + b)^{2}\) :
\[ (3 + b)^{2} = 9 + 6b + b^{2} \]
Ainsi, l’expression finale simplifiée est :
\[ b^{4} (9 + 6b + b^{2}) = 9b^{4} + 6b^{5} + b^{6} \]
\[ \left(2 a^{2} - 7 a^{2}\right) : \left(\frac{1}{2} a - a\right) \]
Étape 1 : Simplifier le numérateur
Calculons \(2a^{2} - 7a^{2}\) :
\[ 2a^{2} - 7a^{2} = -5a^{2} \]
Étape 2 : Simplifier le dénominateur
Calculons \(\frac{1}{2}a - a\) :
\[ \frac{1}{2}a - a = \frac{1}{2}a - \frac{2}{2}a = -\frac{1}{2}a \]
Étape 3 : Effectuer la division
Diviser le numérateur par le dénominateur revient à multiplier par l’inverse :
\[ \frac{-5a^{2}}{-\frac{1}{2}a} = \frac{-5a^{2}}{1} \times \frac{2}{-a} = 10a \]
Conclusion :
\[ \left(2 a^{2} - 7 a^{2}\right) : \left(\frac{1}{2} a - a\right) = 10a \]
\[ \frac{a - 2}{a^{2} - 4x^{2}} : \frac{1}{2x - a} \]
Étape 1 : Simplifier le numérateur et le dénominateur
Le dénominateur \(a^{2} - 4x^{2}\) est une différence de carrés :
\[ a^{2} - 4x^{2} = (a - 2x)(a + 2x) \]
Étape 2 : Réécrire l’expression
L’expression devient :
\[ \frac{a - 2}{(a - 2x)(a + 2x)} : \frac{1}{2x - a} \]
Étape 3 : Remarquer que \(2x - a = -(a - 2x)\)
Donc,
\[ \frac{1}{2x - a} = \frac{1}{-(a - 2x)} = -\frac{1}{a - 2x} \]
Étape 4 : Effectuer la division
Diviser par une fraction équivaut à multiplier par son inverse :
\[ \frac{a - 2}{(a - 2x)(a + 2x)} \times \left(- (a - 2x)\right) = - \frac{(a - 2)(a - 2x)}{(a - 2x)(a + 2x)} \]
Étape 5 : Simplifier les termes communs
Les \((a - 2x)\) se simplifient :
\[ - \frac{a - 2}{a + 2x} \]
Conclusion :
\[ \frac{a - 2}{a^{2} - 4x^{2}} : \frac{1}{2x - a} = -\frac{a - 2}{a + 2x} \]
\[ (2x - 3)(x + 1) - (x - 4)^{2} \]
Étape 1 : Développer les produits
Développons \((2x - 3)(x + 1)\) :
\[ 2x \cdot x + 2x \cdot 1 - 3 \cdot x - 3 \cdot 1 = 2x^{2} + 2x - 3x - 3 = 2x^{2} - x - 3 \]
Développons \((x - 4)^{2}\) :
\[ (x - 4)^{2} = x^{2} - 8x + 16 \]
Étape 2 : Soustraire les deux expressions
\[ (2x^{2} - x - 3) - (x^{2} - 8x + 16) = 2x^{2} - x - 3 - x^{2} + 8x - 16 = x^{2} + 7x - 19 \]
Conclusion :
\[ (2x - 3)(x + 1) - (x - 4)^{2} = x^{2} + 7x - 19 \]
\[ 3x - 2y - 1 - (2x - y + 1) \]
Étape 1 : Développer les parenthèses
\[ 3x - 2y - 1 - 2x + y - 1 \]
Étape 2 : Regrouper les termes similaires
Conclusion :
\[ 3x - 2y - 1 - (2x - y + 1) = x - y - 2 \]
\[ \frac{2x - 2}{x^{2} - 6x + 5} \cdot \frac{x - 5}{4x} \]
Étape 1 : Factoriser le numérateur et le dénominateur
Factorisons \(2x - 2\) :
\[ 2x - 2 = 2(x - 1) \]
Factorisons \(x^{2} - 6x + 5\) :
\[ x^{2} - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) \]
Étape 2 : Réécrire l’expression avec les facteurs
\[ \frac{2(x - 1)}{(x - 1)(x - 5)} \cdot \frac{x - 5}{4x} \]
Étape 3 : Simplifier les termes communs
Les \((x - 1)\) et \((x - 5)\) se simplifient :
\[ \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{4x} = \frac{2}{4x} \]
Étape 4 : Simplifier la fraction
\[ \frac{2}{4x} = \frac{1}{2x} \]
Conclusion :
\[ \frac{2x - 2}{x^{2} - 6x + 5} \cdot \frac{x - 5}{4x} = \frac{1}{2x} \]