Simplifie les expressions suivantes :
\(\frac{4 a}{3} \cdot \frac{3 b}{8}\)
\(\frac{21 x^{4} y^{2} z}{4 a^{2} b c} \cdot \frac{-a^{3} b}{7 x^{3} y^{2} z^{2}}\)
\(\frac{x^{2}}{y z} \cdot \frac{y^{2}}{x z} \cdot \frac{z^{2}}{x y}\)
\(\left(-4 x^{2}\right) \cdot \left(-\frac{7 x}{15 y}\right) \cdot \left(-\frac{y}{22}\right)\)
\(\frac{5 a^{2} b}{7 b^{2} x y^{2}} \cdot 14 x y^{2}\)
\(\left(-\frac{3}{4} a^{5} b^{7}\right) \cdot \left(-\frac{2 x^{3} y}{a^{7} b^{5}}\right) \cdot \left(-\frac{a^{12}}{x^{4}}\right)\)
Résumé des réponses simplifiées :
Étape 1 : Multiplier les numérateurs et les dénominateurs
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux: \[ \frac{4a}{3} \cdot \frac{3b}{8} = \frac{4a \times 3b}{3 \times 8} \]
Étape 2 : Calculer les produits
Calculons les produits au numérateur et au dénominateur: \[ \frac{4a \times 3b}{3 \times 8} = \frac{12ab}{24} \]
Étape 3 : Simplifier la fraction
On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, qui est 12: \[ \frac{12ab}{24} = \frac{ab}{2} \]
Réponse simplifiée : \[ \frac{ab}{2} \]
Étape 1 : Multiplier les fractions
\[ \frac{21 x^{4} y^{2} z}{4 a^{2} b c} \cdot \frac{-a^{3} b}{7 x^{3} y^{2} z^{2}} = \frac{21 x^{4} y^{2} z \times (-a^{3} b)}{4 a^{2} b c \times 7 x^{3} y^{2} z^{2}} \]
Étape 2 : Multiplier les coefficients
\[ 21 \times (-1) = -21 \\ 4 \times 7 = 28 \\ \] Donc, \[ \frac{-21 a^{3} b x^{4} y^{2} z}{28 a^{2} b c x^{3} y^{2} z^{2}} \]
Étape 3 : Simplifier les termes similaires
Ainsi, \[ \frac{-21 a x}{28 c z} \]
Étape 4 : Simplifier les coefficients
\[ \frac{-21}{28} = -\frac{3}{4} \]
Réponse simplifiée : \[ -\frac{3 a x}{4 c z} \]
Étape 1 : Multiplier les fractions
\[ \frac{x^{2}}{y z} \cdot \frac{y^{2}}{x z} \cdot \frac{z^{2}}{x y} = \frac{x^{2} \times y^{2} \times z^{2}}{y z \times x z \times x y} \]
Étape 2 : Multiplier les coefficients et les variables
Au numérateur: \[ x^{2} y^{2} z^{2} \] Au dénominateur: \[ x \times x \times y \times y \times z \times z = x^{2} y^{2} z^{2} \]
Étape 3 : Simplifier la fraction
\[ \frac{x^{2} y^{2} z^{2}}{x^{2} y^{2} z^{2}} = 1 \]
Réponse simplifiée : \[ 1 \]
Étape 1 : Multiplier les coefficients
Multipliant les nombres : \[ (-4) \times \left(-\frac{7}{15}\right) \times \left(-\frac{1}{22}\right) = (-4) \times \frac{7}{15} \times \left(-\frac{1}{22}\right) \] Calculons étape par étape : \[ (-4) \times \left(-\frac{7}{15}\right) = \frac{28}{15} \] Puis : \[ \frac{28}{15} \times \left(-\frac{1}{22}\right) = -\frac{28}{330} \] Simplifions : \[ -\frac{28}{330} = -\frac{14}{165} \]
Étape 2 : Multiplier les variables
\[ x^{2} \times x = x^{3} \\ \frac{1}{y} \times y = 1 \]
Étape 3 : Assembler le tout
\[ -\frac{14}{165} \times \frac{x^{3}}{1} = -\frac{14 x^{3}}{165} \]
Réponse simplifiée : \[ -\frac{14 x^{3}}{165} \]
Étape 1 : Réécrire le nombre entier en fraction
\[ 14 x y^{2} = \frac{14 x y^{2}}{1} \]
Étape 2 : Multiplier les fractions
\[ \frac{5 a^{2} b}{7 b^{2} x y^{2}} \cdot \frac{14 x y^{2}}{1} = \frac{5 a^{2} b \times 14 x y^{2}}{7 b^{2} x y^{2} \times 1} \]
Étape 3 : Multiplier les coefficients
\[ 5 \times 14 = 70 \\ 7 \times 1 = 7 \\ \] Donc, \[ \frac{70 a^{2} b x y^{2}}{7 b^{2} x y^{2}} \]
Étape 4 : Simplifier les coefficients
\[ \frac{70}{7} = 10 \]
Étape 5 : Simplifier les variables
\[ a^{2} \quad \text{reste inchangé} \\ b / b^{2} = \frac{1}{b} \\ x / x = 1 \\ y^{2} / y^{2} = 1 \]
Étape 6 : Assembler le tout
\[ 10 \times \frac{a^{2}}{b} = \frac{10 a^{2}}{b} \]
Réponse simplifiée : \[ \frac{10 a^{2}}{b} \]
Étape 1 : Multiplier les coefficients
\[ \left(-\frac{3}{4}\right) \times \left(-\frac{2}{1}\right) \times \left(-1\right) = (-1) \times (-2/4) \times (-1) = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \]
Étape 2 : Multiplier les variables
Pour \(a\) : \[ a^{5} \times \frac{1}{a^{7}} \times a^{12} = a^{5 - 7 + 12} = a^{10} \]
Pour \(b\) : \[ b^{7} \times \frac{1}{b^{5}} = b^{7 - 5} = b^{2} \]
Pour \(x\) : \[ x^{3} \times \frac{1}{x^{4}} = x^{3 - 4} = x^{-1} = \frac{1}{x} \]
Pour \(y\) : \[ y^{1} \quad \text{reste inchangé} \]
Étape 3 : Assembler le tout
\[ -\frac{3}{2} \times a^{10} \times b^{2} \times \frac{1}{x} \times y = -\frac{3 a^{10} b^{2} y}{2 x} \]
Réponse simplifiée : \[ -\frac{3 a^{10} b^{2} y}{2 x} \]