Question : Prouve que les quatre chemins reliant \(C\) à \(D\) ont la même longueur, quelle que soit la distance entre \(C\) et \(D\).
Les quatre chemins ont la même longueur puisque la symétrie (rotation de 90° ou réflexion) transforme chaque chemin en un autre en préservant les distances.
Nous allons montrer, à l’aide d’arguments de symétrie et de propriétés de transformations géométriques, que dans la configuration proposée les quatre chemins qui relient le point C au point D ont la même longueur, quelle que soit la distance entre ces deux points. Pour cela, nous allons considérer que la construction géométrique possède une symétrie (rotation ou réflexion) qui fait apparaître naturellement quatre chemins « équivalents » par leur construction. Voici comment procéder :
────────────────────────────── 1 – Présentation de la configuration
Bien que le problème ne fournisse pas le dessin, il faut imaginer que, par une construction géométrique soignée, on obtient quatre chemins distincts allant de C à D. Par exemple, dans certaines constructions (on en trouve dans des cahiers d’exercices de géométrie au collège), on part d’un segment [CD] et on trace autour des points C et D deux directions fixées (par exemple en traçant deux droites perpendiculaires ou en effectuant une rotation de l’un par rapport à l’autre). On obtient ainsi quatre routes passant par d’autres points notés, par exemple, A, B, E et F. La particularité de cette construction est que la position de ces points intermédiaires et la façon dont ils sont reliés à C et D sont définies à l’aide de symétries (rotation d’un angle constant ou réflexion par rapport à une droite médiane).
────────────────────────────── 2 – Argument à l’aide de la symétrie (rotation ou réflexion)
Supposons que la construction réalisée présente une symétrie de rotation d’un quart de tour (90°) autour d’un certain point (souvent, le milieu du segment [CD] ou le centre d’un cercle inscrit dans le schéma). Cette rotation envoie chaque chemin sur un autre parmi les quatre. Plus précisément :
• Le chemin 1 (par exemple, passant par un point A déterminé) est envoyé sur le chemin 2 (passant par un point B) par une rotation de 90°. • De même, les deux autres chemins s’échangent eux-mêmes par cette rotation.
La rotation étant une transformation isométrique, elle conserve les distances. Par conséquent, si l’image par rotation d’un chemin a la même longueur que le chemin d’origine, tous les chemins qui se transforment l’un en l’autre par une telle rotation doivent être de même longueur.
────────────────────────────── 3 – Démonstration détaillée
Chemin 1 : C → A → D
Chemin 2 : C → B → D
Chemin 3 : C → E → D
Chemin 4 : C → F → D
On construit ces points A, B, E, F en appliquant des rotations ou des réflexions d’un premier chemin choisi.
Choisissons une rotation de 90° autour d’un point O (par exemple, le milieu de [CD] ou un centre imposé par la configuration). Cette rotation, notée R₉₀, envoie le point C sur un autre point C′ (mais comme C est fixé dans la construction, la figure choisie s’organise de façon à ce que R₉₀ échange de manière cyclique les chemins reliant C à D).
Puisque R₉₀ est une isométrie, pour tout chemin γ reliant C à D, l’image R₉₀(γ) est un chemin reliant R₉₀(C) à R₉₀(D) et a exactement la même longueur. Dans notre configuration, on a choisi les points de sorte que R₉₀(C)=C et R₉₀(D)=D. Ainsi, R₉₀ envoie chaque chemin reliant C à D sur un autre chemin reliant ces mêmes points. Cela implique que tous les chemins sont en relation par une transformation qui conserve la longueur, donc ils ont tous la même longueur.
L’argument reste valable quelle que soit la distance entre C et D, puisque l’isométrie (la rotation dans notre cas) conserve toujours la longueur des segments, indépendamment de la taille ou de la position relative de C et D dans le plan.
────────────────────────────── 4 – Conclusion
En résumant, la construction géométrique possède une symétrie (ici une rotation de 90° ou, de manière équivalente, une symétrie par rapport à une droite médiane) qui transforme l’un des quatre chemins reliant C à D en un autre. Or, une transformation isométrique conserve la distance parcourue. On conclut donc que, dans la configuration donnée, les quatre chemins reliant C à D ont exactement la même longueur, indépendamment de la distance entre C et D.
────────────────────────────── Remarque pédagogique
Cette démonstration repose sur deux idées essentielles : • La construction précise de la figure fait intervenir des opérations géométriques (rotation ou réflexion) qui créent des situations symétriques. • En géométrie, une transformation qui préserve les distances (isométrie) permet d’affirmer que des objets (ici des chemins) obtenus par l’image d’un même objet ont la même mesure.
Ainsi, en faisant usage de ces deux concepts, on a établi que la longueur des quatre chemins est identique.