Question:
L’aire d’un carré triple lorsque son côté est augmenté de 2 cm. Quelle est la longueur initiale du côté de ce carré ?
La différence entre le cube d’un nombre et ce nombre est égale à 504. Quel est ce nombre ?
Les fonctions \(x \mapsto -2x^{2} + 16\) et \(x \mapsto \dfrac{4x}{3} + 5\) sont représentées dans un même système d’axes. Détermine les coordonnées des points d’intersection de leurs représentations graphiques.
Deux arbres poussent de part et d’autre d’un chemin large de 60 mètres. La hauteur du premier arbre est de 40 mètres et celle du second de 55 mètres. Au sommet de chaque arbre se trouve un oiseau. Un oiseau apparaît à la base du premier arbre. Immédiatement, les deux oiseaux se dirigent vers lui à la même vitesse et l’atteignent en même temps. À quelle distance du premier arbre l’oiseau est-il apparu ?
L’aire d’un rectangle est égale à la différence entre l’aire du cercle et celle du triangle. Quelle est la longueur du côté du carré dont l’aire a été utilisée dans ce calcul ?
Réponses courtes :
Nous allons résoudre chacune des questions en détaillant toutes les étapes et raisonnements.
────────────────────────────── Question a) ────────────────────────────── Énoncé a) « L’aire d’un carré triple lorsque son côté est augmenté de 2 cm. Quelle est la longueur initiale du côté de ce carré ? »
Interprétation : On interprète l’énoncé comme « Lorsque l’on augmente la longueur du côté d’un carré de 2 cm, son aire devient trois fois plus grande que l’aire initiale ». Si l’on note x (en cm) la longueur initiale du côté, alors :
• Aire initiale = x². • Nouvelle longueur de côté = x + 2 ⇒ Nouvelle aire = (x + 2)².
La condition donnée se traduit par l’équation : (x + 2)² = 3·x².
« Démarrage de la résolution »
1) Développons le côté gauche : x² + 4x + 4 = 3x². 2) Réorganisons
l’équation en ramenant tout du même côté : x² + 4x + 4 – 3x² =
0 ⟹ –2x² + 4x + 4 = 0. 3) Multiplions par –1 pour simplifier (on peut
aussi diviser par 2 par la suite) : 2x² – 4x – 4 = 0. 4) Divisons par
2 : x² – 2x – 2 = 0.
Il s’agit d’une équation du second degré. On utilise la formule générale : x = [2 ± √( (–2)² – 4·1·(–2) )] / 2 = [2 ± √(4 + 8)]/2 = [2 ± √12]/2. On simplifie √12 = 2√3, donc : x = [2 ± 2√3]/2 = 1 ± √3. Comme x représente une longueur, la solution négative est rejetée.
Conclusion a) La longueur initiale du côté est : x = 1 + √3 cm.
────────────────────────────── Question b) ────────────────────────────── Énoncé b) « La différence entre le cube d’un nombre et ce nombre est égale à 504. Quel est ce nombre ? »
On note le nombre par n. L’énoncé se traduit par : n³ – n = 504. Cela se réécrit : n³ – n – 504 = 0.
Cherchons une solution entière en essayant de substituer quelques valeurs. • Si n = 8 alors : 8³ – 8 = 512 – 8 = 504. La valeur convient.
Conclusion b) Le nombre recherché est 8.
────────────────────────────── Question c) ────────────────────────────── Énoncé c) « Les fonctions f définie par x ↦ –2x² + 16 et g définie par x ↦ (4x/3) + 5 sont représentées dans un même repère. Détermine les coordonnées des points d’intersection de leurs graphiques. »
Pour trouver l’intersection des courbes, on égalise les deux expressions : –2x² + 16 = (4x/3) + 5. Pour se débarrasser du dénominateur, multiplions l’équation par 3 : –6x² + 48 = 4x + 15. Réorganisons pour obtenir une équation égale à 0 : –6x² – 4x + 48 – 15 = 0 ⟹ –6x² – 4x + 33 = 0. Il est plus commode de multiplier par –1 : 6x² + 4x – 33 = 0.
Calculons le discriminant Δ : Δ = 4² – 4·6·(–33) = 16 + 792 = 808. La solution pour x est alors : x = [–4 ± √808] / (2·6) = [–4 ± √808] / 12. Remarquons que √808 se simplifie parce que 808 = 4×202, donc √808 = 2√202. Ainsi : x = (–4 ± 2√202)/12 = (–2 ± √202)/6.
Pour obtenir les coordonnées, on calcule ensuite y à l’aide de g(x) par exemple : y = (4/3)x + 5. Donc, nous avons deux points d’intersection : Point 1 : x₁ = (–2 + √202)/6, y₁ = (4/3 · ((–2 + √202)/6)) + 5 = ((–8 + 4√202)/18) + 5. Point 2 : x₂ = (–2 – √202)/6, y₂ = (4/3 · ((–2 – √202)/6)) + 5 = ((–8 – 4√202)/18) + 5.
On peut, si l’on souhaite, mettre les y sur un dénominateur commun : Pour y₁ : y₁ = (–8 + 4√202 + 90) / 18 = (82 + 4√202)/18. Pour y₂ : y₂ = (–8 – 4√202 + 90) / 18 = (82 – 4√202)/18.
Conclusion c) Les coordonnées des points d’intersection sont : P₁ = ( (–2 + √202)/6 , (82 + 4√202)/18 ) et P₂ = ( (–2 – √202)/6 , (82 – 4√202)/18 ).
────────────────────────────── Question d) ────────────────────────────── Énoncé d) « Deux arbres poussent de part et d’autre d’un chemin large de 60 mètres. La hauteur du premier arbre est de 40 mètres et celle du second de 55 mètres. Au sommet de chaque arbre se trouve un oiseau. Un oiseau apparaît à la base du premier arbre. Immédiatement, les deux oiseaux se dirigent vers lui à la même vitesse et l’atteignent en même temps. À quelle distance du premier arbre l’oiseau est-il apparu ? »
Il faut comprendre que le point d’apparition, noté M, n’est pas exactement à la base du premier arbre (sinon, le trajet du premier oiseau serait de 40 m et celui du second de √(60² + 55²) m, et ils n’arriveraient pas simultanément si la vitesse est identique). Pour que le temps de vol des deux oiseaux (vol en ligne droite) soit identique, ils doivent parcourir la même distance.
Choisissons un repère adapté. Nous plaçons : • Le pied du premier arbre à O = (0, 0). • Le pied du second arbre, situé de l’autre côté du chemin, à I = (60, 0) (la distance entre les arbres est égale à la largeur du chemin). Les oiseaux perchés se trouvent alors directement au-dessus des pieds des arbres : • Oiseau 1 en haut du premier arbre : A = (0, 40). • Oiseau 2 en haut du second arbre : B = (60, 55).
On cherche un point M sur le sol (ordonnée 0) sur la droite verticale passant par O (c’est-à-dire de la forme M = (0, d) avec d ≥ 0) tel que la distance parcourue par chacun soit identique. (Ce point, situé sur la “base” (proche de) du premier arbre, se trouve donc à une distance d (en mètres) de O le long d’une direction donnée.)
Distance parcourue par l’oiseau 1 (depuis A jusqu’à M) : AM =
distance verticale = |d – 40|.
Comme l’oiseau part du haut et M est sur le sol, on a d > 40 et ainsi
AM = d – 40.
Distance parcourue par l’oiseau 2 (depuis B jusqu’à M) : BM = √[ (60 – 0)² + (55 – d)² ] = √[60² + (55 – d)² ]. Le fait qu’ils arrivent en même temps à vitesse identique impose : d – 40 = √(60² + (55 – d)²).
Pour résoudre, nous élevant au carré : (d – 40)² = 60² + (55 – d)².
Développons chaque terme : (d² – 80d + 1600) = 3600 + (d² – 110d +
3025). Simplifions : d² – 80d + 1600 = d² – 110d + 6625. On annule d²
et on isole d : –80d + 1600 = –110d + 6625
Ajoutons 110d de chaque côté : 30d + 1600 = 6625
Ensuite, soustrayons 1600 : 30d = 5025
Enfin, divisons par 30 : d = 5025 / 30 = 167,5.
Vérification rapide : • Pour l’oiseau 1 : distance = 167,5 – 40 =
127,5 m. • Pour l’oiseau 2 : distance = √(60² + (55 – 167,5)²) = √(3600
+ (–112,5)²)
= √(3600 + 12656,25) = √16256,25 = 127,5 m.
La distance d = 167,5 m correspond à la distance du point M par rapport à l’origine O (le pied du premier arbre).
Conclusion d) Le point où l’oiseau est apparu se situe à 167,5 m du pied du premier arbre.
────────────────────────────── Question e) ────────────────────────────── Énoncé e) « L’aire d’un rectangle est égale à la différence entre l’aire du cercle et celle du triangle. Quelle est la longueur du côté du carré dont l’aire a été utilisée dans ce calcul ? »
Ici, l’énoncé signifie qu’on a calculé l’aire d’un rectangle en soustrayant l’aire d’un triangle de celle d’un cercle. Cette aire (numérique) a ensuite servi « à construire » un carré de même aire. Autrement dit, si l’aire du cercle est A_cercle, et l’aire du triangle est A_triangle, alors l’aire du rectangle est :
A_rect = A_cercle – A_triangle.
On construit ensuite un carré de même aire ; si l’on note c la longueur de son côté, alors : c² = A_rect = A_cercle – A_triangle.
Sans données numériques supplémentaires, la réponse se trouve sous forme d’une expression : c = √(A_cercle – A_triangle).
Conclusion e) La longueur du côté du carré est égale à la racine carrée de (l’aire du cercle moins l’aire du triangle) : c = √(A_cercle – A_triangle).
────────────────────────────── Réponses finales ────────────────────────────── a) La longueur initiale du côté du carré est 1 + √3 cm.
Le nombre recherché est 8.
Les points d’intersection ont pour coordonnées
P₁ = ((–2 + √202)/6, (82 + 4√202)/18) et P₂ = ((–2 – √202)/6, (82 –
4√202)/18).
L’oiseau est apparu à 167,5 m du pied du premier arbre.
Le côté du carré vaut √(Aire du cercle – Aire du triangle).