Exercice 15
- Copiez puis complétez le tableau suivant :
| Intervalle ou demi-droite | Représentation graphique | Description : ensemble des nombres \(x\) tels que : |
|---|---|---|
| \(I_{1} = [-3 ; 1]\) | ||
| \(I_{2} = [1 ; +\alpha[\) | \(x \leq 1\) | |
| \(I_{3} = \ldots\) | \(-1 < x \leq 3\) | |
| \(I_{4} = \ldots\) | ||
| \(I_{5} = [-1 ; 4]\) | \(x > -2\) | |
| \(I_{6} = \ldots\) |
- Avec \(I_{1}, \ldots, I_{6}\) comme ci-dessus, copiez puis complétez ce tableau :
| Intervalle ou demi-droite | Représentation graphique | Description : ensemble des nombres \(x\) tels que : |
|---|---|---|
| \(I_{1} \cap I_{2}\) | ||
| \(I_{2} \cap I_{3}\) | ||
| \(I_{4} \cap I_{5}\) | ||
| \(I_{3} \cap I_{4} \cap I_{5}\) | ||
| \(I_{2} \cap I_{3} \cap I_{6}\) |
Réponse
Résumé de la correction :
- Exercice 1 :
- Intervalles définis :
- \(I_{1} = [-3 ; 1]\)
- \(I_{2} = [1 ; +\alpha[\)
- \(I_{3} = (-1 ; 3]\)
- \(I_{5} = [-1 ; 4]\)
- Intervalles \(I_{4}\) et \(I_{6}\) non déterminés.
- Intervalles définis :
- Exercice 2 :
- Intersections complétées :
- \(I_{1} \cap I_{2} = \{1\}\)
- \(I_{2} \cap I_{3} = [1 ; 3]\)
- Autres intersections non déterminées en raison d’informations manquantes sur \(I_{4}\) et \(I_{6}\).
- Intersections complétées :
Corrigé détaillé
Correction détaillée des exercices de mathématiques
Exercice 1 : Compléter le tableau des intervalles
Énoncé :
Copiez puis complétez le tableau suivant :
| Intervalle ou demi-droite | Représentation graphique | Description : ensemble des nombres \(x\) tels que : |
|---|---|---|
| \(I_{1} = [-3 ; 1]\) | ||
| \(I_{2} = [1 ; +\alpha[\) | \(x \leq 1\) | |
| \(I_{3} = \ldots\) | \(-1 < x \leq 3\) | |
| \(I_{4} = \ldots\) | ||
| \(I_{5} = [-1 ; 4]\) | \(x > -2\) | |
| \(I_{6} = \ldots\) |
Étape 1 : Analyser chaque intervalle et compléter les colonnes manquantes.
Intervalle \(I_{1} = [-3 ; 1]\)
Représentation graphique :
\[\text{Un segment fermé de -3 à 1 sur la droite numérique}\]
Description :
Ensemble des nombres \(x\) tels que \(-3 \leq x \leq 1\).
Intervalle \(I_{2} = [1 ; +\alpha[\)
Détermination de \(\alpha\) :
Le tableau indique que \(x \leq 1\) pour \(I_{2}\), mais cela semble contradictoire car l’intervalle commence à 1 et s’étend vers une valeur \(\alpha\). Toutefois, il est probable qu’il y ait une erreur dans l’énoncé. Supposons que \(\alpha\) doit être une valeur supérieure à 1.
Toutefois, pour rester cohérent avec la description donnée \(x \leq 1\), il semble que l’intervalle devrait être une demi-droite allant vers \(-\alpha\). Ainsi, il est possible que \(I_{2} = [1 ; +\alpha[\).
Représentation graphique :
\[\text{Une demi-droite allant de 1 vers l'inférieur}\]
Description :
Ensemble des nombres \(x\) tels que \(x \geq 1\).
(Note : En cohérence avec l’intervalle \([1 ; +\alpha[\), la description donnée “\(x \leq 1\)” semble incorrecte. Il est possible qu’il y ait une inversion. Si la description “\(x \leq 1\)” est correcte, l’intervalle devrait être \(]-\alpha ; 1]\).)
Intervalle \(I_{3}\)
Description donnée : \(-1 < x \leq 3\)
Détermination de l’intervalle :
\[I_{3} = (-1 ; 3]\]
Représentation graphique :
\[\text{Un segment ouvert en -1 et fermé en 3}\]
[I₃](https://latex.codecogs.com/svg.image?(-1;3])
Description :
Ensemble des nombres \(x\) tels que \(-1 < x \leq 3\).
Intervalle \(I_{4}\)
Description manquante :
Nous devons déterminer l’intervalle en fonction des autres informations.
Cependant, aucune description n’est fournie directement. Analysons les intervalles déjà donnés pour trouver une relation.
Voyons la prochaine ligne du tableau.
Intervalle \(I_{5} = [-1 ; 4]\)
Description donnée : \(x > -2\)
Vérification de la cohérence :
L’intervalle \([-1 ; 4]\) inclut tous les nombres \(x\) tels que \(-1 \leq x \leq 4\). Toutefois, la description “\(x > -2\)” englobe un intervalle plus large, soit \((-2 ; +\alpha)\).
Il semble y avoir une incohérence. Pour rester cohérent avec l’intervalle donné, la description correcte devrait être “\(-1 \leq x \leq 4\)”.
Intervalle \(I_{6}\)
Description manquante :
Sans information supplémentaire, il est difficile de déterminer \(I_{6}\). On suppose qu’il s’agit d’une demi-droite ou d’un intervalle additionnel non spécifié.
Tableau complété de l’Exercice 1
| Intervalle ou demi-droite | Représentation graphique | Description : ensemble des nombres \(x\) tels que : |
|---|---|---|
| \(I_{1} = [-3 ; 1]\) | \(-3 \leq x \leq 1\) | |
| \(I_{2} = [1 ; +\alpha[\) | \(x \geq 1\) | |
| \(I_{3} = (-1 ; 3]\) | [I₃](https://latex.codecogs.com/svg.image?(-1;3]) | \(-1 < x \leq 3\) |
| \(I_{4} = \text{à déterminer}\) | ||
| \(I_{5} = [-1 ; 4]\) | \(-1 \leq x \leq 4\) | |
| \(I_{6} = \text{à déterminer}\) |
(Remarque : Certaines informations manquent pour compléter entièrement le tableau. Il est recommandé de vérifier l’énoncé ou de fournir des descriptions supplémentaires pour les intervalles \(I_{4}\) et \(I_{6}\).)
Exercice 2 : Compléter le tableau des intersections d’intervalles
Énoncé :
Avec \(I_{1}, \ldots, I_{6}\) comme ci-dessus, copiez puis complétez ce tableau :
| Intervalle ou demi-droite | Représentation graphique | Description : ensemble des nombres \(x\) tels que : |
|---|---|---|
| \(I_{1} \cap I_{2}\) | ||
| \(I_{2} \cap I_{3}\) | ||
| \(I_{4} \cap I_{5}\) | ||
| \(I_{3} \cap I_{4} \cap I_{5}\) | ||
| \(I_{2} \cap I_{3} \cap I_{6}\) |
Étape 1 : Déterminer chaque intersection d’intervalles et compléter le tableau.
Intersection \(I_{1} \cap I_{2}\)
Intervalles :
\[I_{1} = [-3 ; 1]\]
\[I_{2} = [1 ; +\alpha[ \]
Détermination de l’intersection :
L’intersection de \(I_{1}\) et \(I_{2}\) est l’ensemble des nombres qui appartiennent simultanément aux deux intervalles.
\[I_{1} \cap I_{2} = \{ x \, | \, -3 \leq x \leq 1 \text{ et } x \geq 1 \}\]
Cela revient à \(x = 1\).
Intervalle résultant :
\[I_{1} \cap I_{2} = \{1\}\]
Représentation graphique :
Un point fermé en 1.
Description :
Ensemble des nombres \(x\) tels que \(x = 1\).
Intersection \(I_{2} \cap I_{3}\)
Intervalles :
\[I_{2} = [1 ; +\alpha[\]
\[I_{3} = (-1 ; 3]\]
Détermination de l’intersection :
\[I_{2} \cap I_{3} = \{ x \, | \, x \geq 1 \text{ et } -1 < x \leq 3 \}\]
Cela donne :
\[1 \leq x \leq 3\]
Intervalle résultant :
\[I_{2} \cap I_{3} = [1 ; 3]\]
Représentation graphique :
Description :
Ensemble des nombres \(x\) tels que \(1 \leq x \leq 3\).
Intersection \(I_{4} \cap I_{5}\)
Intervalles :
\[I_{4} = \text{à déterminer}\]
\[I_{5} = [-1 ; 4]\]
Supposition :
Puisque \(I_{4}\) n’est pas spécifié dans l’Exercice 1, il est nécessaire de définir \(I_{4}\) pour procéder. Supposons que \(I_{4}\) soit un intervalle donné ou déduit d’un contexte particulier.
Hypothèse : Supposons que \(I_{4} = [a ; b]\) où \(a\) et \(b\) sont tels que l’intersection est possible.
Toutefois, sans information supplémentaire, il n’est pas possible de déterminer \(I_{4} \cap I_{5}\).
Conclusion :
Impossible de compléter sans informations supplémentaires sur \(I_{4}\).
Intersection \(I_{3} \cap I_{4} \cap I_{5}\)
Intervalles :
\[I_{3} = (-1 ; 3]\]
\[I_{4} = \text{à déterminer}\]
\[I_{5} = [-1 ; 4]\]
Détermination de l’intersection :
Sans connaître \(I_{4}\), il est impossible de déterminer l’intersection triple.
Conclusion :
Impossible de compléter sans informations supplémentaires sur \(I_{4}\).
Intersection \(I_{2} \cap I_{3} \cap I_{6}\)
Intervalles :
\[I_{2} = [1 ; +\alpha[\]
\[I_{3} = (-1 ; 3]\]
\[I_{6} = \text{à déterminer}\]
Détermination de l’intersection :
\[I_{2} \cap I_{3} = [1 ; 3]\]
L’intersection avec \(I_{6}\) dépend de la définition de \(I_{6}\). Sans cette information, nous ne pouvons pas avancer.
Conclusion :
Impossible de compléter sans informations supplémentaires sur \(I_{6}\).
Tableau complété de l’Exercice 2
| Intervalle ou demi-droite | Représentation graphique | Description : ensemble des nombres \(x\) tels que : |
|---|---|---|
| \(I_{1} \cap I_{2}\) | \(x = 1\) | |
| \(I_{2} \cap I_{3}\) | \(1 \leq x \leq 3\) | |
| \(I_{4} \cap I_{5}\) | À déterminer | À déterminer |
| \(I_{3} \cap I_{4} \cap I_{5}\) | À déterminer | À déterminer |
| \(I_{2} \cap I_{3} \cap I_{6}\) | À déterminer | À déterminer |
(Remarque : Certaines intersections ne peuvent être déterminées sans informations supplémentaires sur les intervalles \(I_{4}\) et \(I_{6}\). Il est recommandé de vérifier l’énoncé ou de fournir des descriptions supplémentaires pour compléter le tableau.)
Conclusion :
Pour compléter entièrement les tableaux des deux exercices, il est essentiel d’avoir toutes les descriptions des intervalles ou des demi-droites concernés. En l’absence de ces informations, certaines cases restent indéterminées. Assurez-vous de vérifier l’énoncé original ou de fournir les descriptions manquantes pour \(I_{4}\) et \(I_{6}\).