Exercice 6

Voici, pour la production de l’année 2023, le relevé des diamètres des pommes d’un verger.

Diamètre (cm)	8	10	12	15	18
Effectif	500	750	1300	900	550

Quel est l’effectif total de cette production ?
Détermine l’étendue de cette série. Interprète ce résultat.
Calcule la moyenne, puis la médiane, de cette série. Interprète ces résultats.
L’exploitation ne peut conditionner les pommes que si leur diamètre est inférieur ou égal à 15 cm. Quel pourcentage de cette production a-t-il pu conditionner sans rejeter les pommes ?
La coopérative accorde un « label d’excellence » aux producteurs si :
- La longueur moyenne des pommes de leur production est supérieure ou égale à \(12{,}5\,\mathrm{cm}\) ;
- Et plus de la moitié des pommes de leur production ont un diamètre supérieur à \(12{,}0\,\mathrm{cm}\).
Ce producteur pourra-t-il recevoir ce « label d’excellence » ?

Réponse

Effectif total = 4000 pommes.
Étendue = 10 cm (les diamètres varient de 8 cm à 18 cm).
Moyenne ≈ 12,63 cm et médiane = 12 cm.
86,25 % des pommes (3450 sur 4000) ont un diamètre ≤15 cm.
Bien que la moyenne soit ≥12,5 cm, seulement 1450 pommes ont un diamètre >12 cm (<2000), donc le producteur n’obtient pas le label d’excellence.

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre pas à pas chacune des questions en utilisant les données du tableau.

────────────────────────────── 1. Données du tableau

Diamètres (cm) : 8, 10, 12, 15, 18
Effectifs correspondants : 500, 750, 1300, 900, 550
Effectif total = somme des effectifs de chaque groupe.

────────────────────────────── a. Calcul de l’effectif total

On additionne les effectifs :
500 + 750 + 1300 + 900 + 550

Calculons : • 500 + 750 = 1250
• 1250 + 1300 = 2550
• 2550 + 900 = 3450
• 3450 + 550 = 4000

L’effectif total de la production de 2023 est donc de 4000 pommes.

────────────────────────────── b. Détermination de l’étendue et interprétation

L’étendue se calcule par la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série.

– La plus petite valeur (diamètre minimum) est 8 cm.
– La plus grande valeur (diamètre maximum) est 18 cm.

Ainsi, l’étendue = 18 cm − 8 cm = 10 cm.

Interprétation :
Cette étendue de 10 cm indique que les diamètres des pommes varient sur une plage de 10 cm. Cela montre la diversité des tailles dans la production.

────────────────────────────── c. Calcul de la moyenne et de la médiane, puis leur interprétation

Calcul de la moyenne

La moyenne pondérée se calcule en multipliant chaque diamètre par son effectif, en additionnant ces produits, puis en divisant par l’effectif total.

Effectif total = 4000
Somme des produits (diamètre × effectif) :

• 8 cm × 500 = 4000
• 10 cm × 750 = 7500
• 12 cm × 1300 = 15600
• 15 cm × 900 = 13500
• 18 cm × 550 = 9900

Additionnons :
4000 + 7500 = 11500
11500 + 15600 = 27100
27100 + 13500 = 40600
40600 + 9900 = 50500

Maintenant, la moyenne = 50500 / 4000 = 12,625 cm
(on peut arrondir à 12,63 cm).

Détermination de la médiane

La médiane est la valeur qui partage la série en deux parties égales. Puisque l’effectif total est pair (4000), la médiane se trouve entre la 2000ème et la 2001ème observation lorsque les valeurs sont classées par ordre croissant.

Examinons les effectifs cumulés :

– Pour le diamètre 8 cm : effectif de 500 → observations 1 à 500.
– Pour le diamètre 10 cm : 750 → observations 501 à 1250 (500 + 750 = 1250).
– Pour le diamètre 12 cm : 1300 → observations 1251 à 2550 (1250 + 1300 = 2550).

Les 2000 premières observations se situent dans le groupe des pommes de diamètre 12 cm. Ainsi, la médiane de la série est 12 cm.

Interprétation :
• La moyenne (environ 12,63 cm) donne la taille moyenne des pommes de la production.
• La médiane (12 cm) indique que la moitié des pommes a un diamètre inférieur ou égal à 12 cm et l’autre moitié supérieure ou égale à 12 cm.
La proximité de ces deux valeurs montre que la distribution des diamètres n’est pas très asymétrique.

────────────────────────────── d. Pourcentage de pommes conditionnées (diamètre ≤ 15 cm)

L’exploitation ne peut conditionner que les pommes dont le diamètre est inférieur ou égal à 15 cm. Ainsi, on prend en compte les groupes de diamètres : 8, 10, 12 et 15 cm.

Effectifs de ces groupes :

• 8 cm : 500
• 10 cm : 750
• 12 cm : 1300
• 15 cm : 900

Calcul de l’effectif total des pommes conditionnées :
500 + 750 = 1250
1250 + 1300 = 2550
2550 + 900 = 3450

Pour trouver le pourcentage, on fait :

(3450 / 4000) × 100 = 86,25 %

Ainsi, 86,25 % de la production a pu être conditionnée sans rejeter de pommes.

────────────────────────────── e. Conditions pour le « label d’excellence »

Les deux critères sont :

La longueur moyenne (ici le diamètre moyen) doit être supérieure ou égale à 12,5 cm.
– La moyenne que nous avons calculée est d’environ 12,63 cm, ce critère est donc rempli.
Plus de la moitié des pommes doivent avoir un diamètre supérieur à 12,0 cm.

Pour vérifier ce critère, comptons les pommes avec un diamètre strictement supérieur à 12 cm.
Les groupes concernés sont :

• 15 cm : 900 pommes
• 18 cm : 550 pommes

Total = 900 + 550 = 1450

Pour qu’une majorité soit présente, il faut que le nombre de pommes avec un diamètre > 12 cm soit supérieur à 50 % de l’effectif total.
La moitié de 4000 est 2000.
Ici, 1450 est inférieur à 2000, donc moins de la moitié des pommes ont un diamètre supérieur à 12 cm.

Conclusion :
Bien que la moyenne soit supérieure ou égale à 12,5 cm, le deuxième critère n’est pas rempli.
Par conséquent, le producteur ne pourra pas recevoir le « label d’excellence ».

────────────────────────────── Résumé des réponses

Effectif total = 4000 pommes.
Étendue = 10 cm. Cela signifie que le diamètre des pommes varie de 8 cm à 18 cm, une variation de 10 cm.
Moyenne ≈ 12,63 cm et médiane = 12 cm. La moyenne représente la taille moyenne des pommes et la médiane indique que 50 % des pommes ont un diamètre inférieur ou égal à 12 cm.
Pourcentage de pommes conditionnées = 86,25 % (3450 pommes sur 4000).
Le producteur ne répond pas à la condition concernant le nombre de pommes ayant un diamètre supérieur à 12 cm (1450 < 2000), il ne peut donc pas obtenir le « label d’excellence ».

Cette démarche détaillée permet de comprendre chaque étape du calcul et l’interprétation des résultats.