Question : Voici les résultats des sauts en longueur lors d’un championnat d’athlétisme. Les distances des sauts sont exprimées en mètres.
5,8 6,2 6 5,5 6,4 5,9 6,1 6,3 5,7 6,5 6,0 6,2 6,1 6,3 6,3 6,6 5,8 6,2 6,2 6,5 6,0 6,4 6,7 6,8
| Distance \(d\) du saut (en mètres) | 5,5 – 5,9 | 6,0 – 6,4 | 6,5 – 6,9 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre d’athlètes | 8 | 6 | |||
| Fréquence | 0,05 | 0,15 | |||
| Valeur centrale | 5,7 | 6,2 | 6,7 |
En utilisant les valeurs centrales, calculez la distance moyenne d’un saut.
Déterminez la médiane de cette série statistique. Interprétez les résultats obtenus.
Déterminez l’étendue.
Quel est le pourcentage d’athlètes ayant sauté au moins 6 mètres ?
Quelle distance ont au moins réalisée les \(25\,\%\) des athlètes qui ont sauté le plus loin ?
Résumé des réponses :
Tableau complété avec les nombres d’athlètes et les fréquences.
Distance moyenne : 6,53 mètres.
Médiane : 6,25 mètres.
Étendue : 1,3 mètres.
82,6 % des athlètes ont sauté au moins 6 mètres.
Les 25 % des athlètes les plus performants ont sauté au moins 6,4 mètres.
Pour compléter le tableau, nous devons déterminer le nombre d’athlètes et la fréquence pour chaque intervalle de distance. Voici les étapes à suivre :
Identifier les intervalles de distance :
Compter le nombre d’athlètes dans chaque intervalle :
À partir des résultats des sauts, nous allons classer chaque distance dans l’intervalle correspondant.
| Distance du saut (m) | Athlètes |
|---|---|
| 5,5 | 1 |
| 5,7 | 1 |
| 5,8 | 2 |
| 5,9 | 1 |
| 6,0 | 2 |
| 6,1 | 2 |
| 6,2 | 4 |
| 6,3 | 3 |
| 6,4 | 2 |
| 6,5 | 2 |
| 6,6 | 1 |
| 6,7 | 1 |
| 6,8 | 1 |
Total des athlètes : 23
Maintenant, répartissons ces athlètes dans les intervalles :
Calculer les fréquences :
La fréquence est le rapport entre le nombre d’athlètes dans l’intervalle et le nombre total d’athlètes.
Total des athlètes : 23
Fréquence = Nombre d’athlètes / Total des athlètes
Compléter la table :
| Distance \(d\) du saut (en mètres) | 5,5 – 5,9 | 6,0 – 6,4 | 6,5 – 6,9 |
|---|---|---|---|
| Nombre d’athlètes | 5 | 13 | 6 |
| Fréquence | 0,22 | 0,57 | 0,26 |
| Valeur centrale | 5,7 | 6,2 | 6,7 |
Note : La valeur centrale est la moyenne des bornes de chaque intervalle.
- 5,5 – 5,9 m : \(\frac{5,5 + 5,9}{2} = 5,7\)
- 6,0 – 6,4 m : \(\frac{6,0 + 6,4}{2} = 6,2\)
- 6,5 – 6,9 m : \(\frac{6,5 + 6,9}{2} = 6,7\)
La distance moyenne (ou moyenne pondérée) se calcule en multipliant chaque valeur centrale par sa fréquence, puis en faisant la somme de ces produits.
Récapitulatif des valeurs :
| Intervalle | Valeur centrale \(\overline{d}\) | Fréquence \(f\) |
|---|---|---|
| 5,5 – 5,9 | 5,7 | 0,22 |
| 6,0 – 6,4 | 6,2 | 0,57 |
| 6,5 – 6,9 | 6,7 | 0,26 |
Calcul de la moyenne :
\[ \text{Moyenne} = \sum (f \times \overline{d}) = (0,22 \times 5,7) + (0,57 \times 6,2) + (0,26 \times 6,7) \]
Calcul :
\[ \text{Moyenne} = 1,254 + 3,534 + 1,742 = 6,53 \text{ mètres} \]
Distance moyenne d’un saut : 6,53 mètres
La médiane est la valeur qui sépare une série en deux parties égales. Elle correspond au saut situé au milieu de la série lorsque les données sont ordonnées.
Nombre total d’athlètes : 23
Position de la médiane :
\[ \text{Position} = \frac{n + 1}{2} = \frac{23 + 1}{2} = 12 \]
La médiane est le 12ᵉ saut dans la série ordonnée.
Répartition cumulée des fréquences :
| Intervalle | Nombre d’athlètes | Fréquence | Fréquence cumulée |
|---|---|---|---|
| 5,5 – 5,9 | 5 | 0,22 | 0,22 |
| 6,0 – 6,4 | 13 | 0,57 | 0,22 + 0,57 = 0,79 |
| 6,5 – 6,9 | 6 | 0,26 | 0,79 + 0,26 = 1,05 |
Identifier l’intervalle contenant la médiane :
La médiane se situe dans l’intervalle où la fréquence cumulée atteint ou dépasse 0,5. Ici, après le premier intervalle (0,22), la fréquence cumulée est 0,57 dans le deuxième intervalle, ce qui contient la médiane.
Calcul de la médiane :
\[ \text{Médiane} = a + \left( \frac{\frac{n}{2} - F_{\text{avant}}}{f} \right) \times c \]
Où :
\[ \text{Médiane} = 6,0 + \left( \frac{11,5 - 5}{13} \right) \times 0,5 \]
(Note : \(\frac{n}{2} = \frac{23}{2} = 11,5\))
\[ \text{Médiane} = 6,0 + \left( \frac{6,5}{13} \right) \times 0,5 \approx 6,0 + 0,25 = 6,25 \text{ mètres} \]
Médiane : 6,25 mètres
Interprétation :
La médiane indique que 50 % des athlètes ont sauté une distance inférieure ou égale à 6,25 mètres, et 50 % ont sauté une distance supérieure ou égale à 6,25 mètres.
L’étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale d’une série de données.
Identifier les valeurs extrêmes :
Calcul de l’étendue :
\[ \text{Étendue} = \text{Valeur maximale} - \text{Valeur minimale} = 6,8 - 5,5 = 1,3 \text{ mètres} \]
Étendue : 1,3 mètres
Pour déterminer ce pourcentage, nous devons compter le nombre d’athlètes ayant sauté au moins 6 mètres et diviser par le nombre total d’athlètes.
Définir “au moins 6 mètres” :
Compter les athlètes :
Calcul du pourcentage :
\[ \text{Pourcentage} = \left( \frac{19}{23} \right) \times 100 \approx 82,61\,\% \]
Environ 82,6 % des athlètes ont sauté au moins 6 mètres.
Cette question demande de déterminer le premier quartile supérieur (Q3), c’est-à-dire la valeur telle que 75 % des athlètes ont sauté en dessous, et 25 % ont sauté au-dessus.
Nombre total d’athlètes : 23
Position du 75ème percentile :
\[ \text{Position} = 0,75 \times (23 + 1) = 0,75 \times 24 = 18 \]
La 18ᵉ position dans la série ordonnée représente la limite pour les 25 % des athlètes les plus performants.
Répartition cumulée des fréquences :
| Intervalle | Nombre d’athlètes | Fréquence cumulée |
|---|---|---|
| 5,5 – 5,9 | 5 | 5 |
| 6,0 – 6,4 | 13 | 5 + 13 = 18 |
| 6,5 – 6,9 | 6 | 18 + 6 = 24 |
Identifier l’intervalle contenant la 18ᵉ athlète :
La 18ᵉ athlète est le dernier athlète de l’intervalle 6,0 – 6,4 mètres.
Calcul de la distance minimale pour les 25 % des meilleurs sauts :
Puisque la 18ᵉ athlète est dans l’intervalle 6,0 – 6,4 mètres, cela signifie que au moins les athlètes ayant sauté 6,4 mètres sont parmi les 25 % les plus performants.
Les 25 % des athlètes ayant sauté le plus loin ont au moins réalisé un saut de 6,4 mètres.