Exercice 4

Recopiez dans votre cahier et complétez en utilisant l’un des signes \(\in\) ou \(\notin\) :

1. \(0,\overline{37} \quad \ldots \quad \mathbb{Q}\)
2. \(-2,5 \quad \ldots \quad \mathbb{Z}\)
3. \(0 \quad \ldots \quad \mathbb{R}\)
4. \(\sqrt{-25} \quad \ldots \quad \mathbb{R}\)
5. \(+\dfrac{6}{2} \quad \ldots \quad \mathbb{N}\)
6. \(\sqrt{\dfrac{3}{4}} \quad \ldots \quad \mathbb{Q}\)
7. \(5 \quad \ldots \quad \mathbb{Z} \quad ; \quad -\sqrt{25} \quad \ldots \quad \mathbb{Z} \quad ; \quad -\sqrt{0,01} \quad \ldots \quad \mathbb{Q}\)

Réponse

Réponses brèves : 1. 0,𝟑̅7 ∈ ℚ
2. –2,5 ∉ ℤ
3. 0 ∈ ℝ
4. √(–25) ∉ ℝ
5. +6/2 ∈ ℕ
6. √(3/4) ∉ ℚ
7. a) 5 ∈ ℤ ; b) –√(25) ∈ ℤ ; c) –√(0,01) ∈ ℚ

Corrigé détaillé

Nous allons analyser chaque expression et déterminer si elle appartient (∈) ou n’appartient pas (∉) à l’ensemble indiqué.

────────────────────────────── 1. 0,𝟑̅7 et ℚ

L’écriture 0,𝟑̅7 représente le nombre décimal périodique 0,373737…
– Un nombre décimal périodique est toujours un nombre rationnel, c’est-à-dire qu’il peut s’écrire sous la forme d’une fraction de deux entiers.
– Ainsi, 0,𝟑̅7 appartient à ℚ.
Réponse : 0,𝟑̅7 ∈ ℚ

────────────────────────────── 2. –2,5 et ℤ

Le nombre –2,5 est un nombre décimal non entier.
– L’ensemble ℤ contient uniquement les nombres entiers (positifs, négatifs ou zéro).
– Comme –2,5 n’est pas un entier, il n’appartient pas à ℤ.
Réponse : –2,5 ∉ ℤ

────────────────────────────── 3. 0 et ℝ

Le nombre 0 est bien un nombre réel, car ℝ regroupe tous les nombres (entiers, décimaux, rationnels, irrationnels, …).
Réponse : 0 ∈ ℝ

────────────────────────────── 4. √(–25) et ℝ

L’expression √(–25) représente la racine carrée d’un nombre négatif.
– Dans l’ensemble ℝ, nous ne définissons pas la racine carrée d’un nombre négatif.
– Donc, √(–25) n’appartient pas à ℝ.
Réponse : √(–25) ∉ ℝ

────────────────────────────── 5. +6/2 et ℕ

Calculons d’abord l’expression +6/2.
– 6/2 = 3
– L’ensemble ℕ est constitué des nombres naturels, souvent considérés comme les entiers positifs (et parfois zéro, selon les définitions, mais ici la valeur 3 y est bien incluse).
Réponse : +6/2 ∈ ℕ

────────────────────────────── 6. √(3/4) et ℚ

Calculons √(3/4).
– On a √(3/4) = √3 / √4 = √3 / 2
– Le nombre √3 est un nombre irrationnel (il ne peut s’exprimer sous forme de fraction exacte).
– Le quotient d’un nombre irrationnel par un entier non nul reste irrationnel.
Ainsi, √(3/4) n’appartient pas à ℚ.
Réponse : √(3/4) ∉ ℚ

────────────────────────────── 7. Trois expressions dans ℤ et ℚ

1. Pour le nombre 5 : – 5 est un nombre entier.
   Réponse : 5 ∈ ℤ

2. Pour –√(25) : – La racine carrée de 25 est 5, donc –√(25) = –5.
   – –5 est un entier.
   Réponse : –√(25) ∈ ℤ

3. Pour –√(0,01) : – Calculons √(0,01). On sait que 0,01 = 1/100, donc √(0,01) = √(1/100) = 1/10.
   – Ainsi, –√(0,01) = –1/10
   – –1/10 peut s’exprimer sous forme fractionnaire avec des entiers au numérateur et au dénominateur, c’est donc un nombre rationnel.
   Réponse : –√(0,01) ∈ ℚ

────────────────────────────── Récapitulatif final :

1. 0,𝟑̅7 ∈ ℚ
   
2. –2,5 ∉ ℤ
   
3. 0 ∈ ℝ
   
4. √(–25) ∉ ℝ
   
5. +6/2 ∈ ℕ
   
6. √(3/4) ∉ ℚ
   
7. 5 ∈ ℤ ; –√(25) ∈ ℤ ; –√(0,01) ∈ ℚ

Cette démarche permet de vérifier, pour chaque nombre, sa nature et son appartenance aux ensembles donnés.