Exercice 3
Voici le tableau modifié sans les lignes vides :
| Intervalle ou demi-droite | Représentation graphique | Description : ensemble des nombres \(x\) tels que : |
|---|---|---|
| \(]-3 ; 4[\) | ||
| \(\left[-1,5 ; \dfrac{2}{3}\right]\) | \(-\sqrt{2} \leq x \leq \pi\) | |
| \(x \leq -3\) | ||
| \(]-\alpha ; 4]\) | \(x > 5\) | |
| \(]-5 ; +\alpha[\) | \(-10 < x < 10\) | |
| \([-7 ; 7[\) | \(x \geq -2,5\) | |
| \([-2 ; +\alpha[\) | ||
| \([2 ; 8]\) |
Réponse
Pour compléter le tableau, chaque intervalle est représenté graphiquement sur une droite numérique en précisant si les bornes sont incluses (crochets) ou exclues (parenthèses). Ensuite, on décrit l’ensemble des valeurs de \(x\) correspondant à l’intervalle à l’aide d’inégalités appropriées.
Corrigé détaillé
Pour compléter le tableau, nous allons analyser chaque intervalle ou demi-droite, déterminer sa représentation graphique sur une droite numérique et décrire l’ensemble des nombres \(x\) qui le caractérisent. Voici une explication détaillée pour chaque ligne du tableau.
1. Intervalle \(]-3 ; 4[\)
Représentation graphique :
\[ \text{---)} \quad -3 \quad \text{-------------------} \quad 4 \quad (\text{---} \]
Les parenthèses \((\) indiquent que les bornes ne sont pas incluses.
Description : ensemble des nombres \(x\) tels que :
\[ -3 < x < 4 \]
Cela signifie que \(x\) est un nombre supérieur à \(-3\) et inférieur à \(4\).
2. Intervalle \(\left[-1,5 ; \dfrac{2}{3}\right]\)
Représentation graphique :
\[ [ \quad -1,5 \quad \text{========} \quad \dfrac{2}{3} \quad ] \]
Les crochets \([\) indiquent que les bornes sont incluses.
Description : ensemble des nombres \(x\) tels que :
\[ -\sqrt{2} \leq x \leq \pi \]
Ici, \(x\) est un nombre supérieur ou égal à \(-\sqrt{2}\) et inférieur ou égal à \(\pi\).
3. Intervalle \(x \leq -3\)
Représentation graphique :
\[ \text{---]} \quad -3 \quad \text{-------------------} \]
Le crochet fermé \(]\) à gauche indique que \(-3\) est inclus, et la flèche vers la gauche montre que tous les nombres inférieurs ou égaux sont inclus.
Description : ensemble des nombres \(x\) tels que :
\[ x \leq -3 \]
Cela signifie que \(x\) est un nombre inférieur ou égal à \(-3\).
4. Intervalle \(]-\alpha ; 4]\)
Représentation graphique :
\[ \text{---)} \quad -\alpha \quad \text{-------------------} \quad 4 \quad ] \]
La parenthèse \()\) à gauche indique que \(-\alpha\) n’est pas inclus, et le crochet fermé \(]\) à droite indique que \(4\) est inclus.
Description : ensemble des nombres \(x\) tels que :
\[ x > 5 \]
Ici, \(x\) est un nombre strictement supérieur à \(5\).
5. Intervalle \(]-5 ; +\alpha[\)
Représentation graphique :
\[ \text{---)} \quad -5 \quad \text{-------------------} \quad +\alpha \quad ) \]
Les parenthèses \((\) indiquent que les bornes ne sont pas incluses.
Description : ensemble des nombres \(x\) tels que :
\[ -10 < x < 10 \]
Cela signifie que \(x\) est un nombre supérieur à \(-10\) et inférieur à \(10\).
6. Intervalle \([-7 ; 7[\)
Représentation graphique :
\[ [ \quad -7 \quad \text{=================} \quad 7 \quad ) \]
Le crochet fermé \([\) à gauche indique que \(-7\) est inclus, et la parenthèse \()\) à droite indique que \(7\) n’est pas inclus.
Description : ensemble des nombres \(x\) tels que :
\[ x \geq -2,5 \]
Ici, \(x\) est un nombre supérieur ou égal à \(-2,5\).
7. Intervalle \([-2 ; +\alpha[\)
Représentation graphique :
\[ [ \quad -2 \quad \text{-------------------} \quad +\alpha \quad ) \]
Le crochet fermé \([\) à gauche indique que \(-2\) est inclus, et la parenthèse \()\) à droite indique que \(+\alpha\) n’est pas inclus.
Description : ensemble des nombres \(x\) tels que :
(Cette ligne est vide dans l’énoncé, donc aucun détail n’est fourni.)
8. Intervalle \([2 ; 8]\)
Représentation graphique :
\[ [ \quad 2 \quad \text{================} \quad 8 \quad ] \]
Les crochets \([\) et \(]\) indiquent que les bornes sont incluses.
Description : ensemble des nombres \(x\) tels que :
\[ 2 \leq x \leq 8 \]
Cela signifie que \(x\) est un nombre compris entre \(2\) et \(8\), incluant les deux bornes.
Remarques Générales :
Représentation Graphique :
- Les crochets \([\) ou \(]\) indiquent que la borne est incluse.
- Les parenthèses \((\) ou \()\) indiquent que la borne n’est pas incluse.
- Une flèche vers la droite \(\rightarrow\) ou vers la gauche \(\leftarrow\) montre que l’intervalle continue indéfiniment dans cette direction.
Descriptions en Inégalités :
- Utilisez \(<\) ou \(>\) pour exclure les bornes.
- Utilisez \(\leq\) ou \(\geq\) pour inclure les bornes.
En suivant ces principes, vous pouvez compléter les autres lignes du tableau en identifiant le type d’intervalle, sa représentation graphique et la description des valeurs de \(x\) qui le définissent.