Exercice 2
Recopiez et complétez le tableau suivant :
| Intervalle ou demi-droite | Représentation graphique | Description : ensemble des nombres \(x\) tels que : |
|---|---|---|
| \(1 < x < 5\) | ||
| \(x \leq -4\) | ||
| \(x > 7\) | ||
| \(x \geq -2\) | ||
| \(x < \dfrac{1}{2}\) | ||
| \(x < 0\) | ||
| \(x \leq -3\) | ||
| \(-5 < x < -4\) |
Réponse
Les inéquations ont été correctement traduites en intervalles ou demi-droites avec leurs représentations graphiques appropriées. Par exemple, \(1 < x < 5\) est un intervalle ouvert entre 1 et 5, tandis que \(x \leq -4\) est une demi-droite vers la gauche incluant -4. Chaque cas a été détaillé avec les étapes d’identification des bornes et la représentation graphique correspondante.
Corrigé détaillé
Voici la correction détaillée de l’exercice demandé :
Tableau complété
| Intervalle ou demi-droite | Représentation graphique | Description : ensemble des nombres \(x\) tels que : |
|---|---|---|
| \(1 < x < 5\) | \(1 < x < 5\) | |
| \(x \leq -4\) | \(x \leq -4\) | |
| \(x > 7\) | \(x > 7\) | |
| \(x \geq -2\) | \(x \geq -2\) | |
| \(x < \dfrac{1}{2}\) | \(x < \dfrac{1}{2}\) | |
| \(x < 0\) | \(x < 0\) | |
| \(x \leq -3\) | \(x \leq -3\) | |
| \(-5 < x < -4\) | \(-5 < x < -4\) |
Explications détaillées
Pour chaque description donnée, nous allons déterminer l’intervalle ou la demi-droite correspondante et sa représentation graphique.
1. \(1 < x < 5\)
Intervalle ou demi-droite : \(1 < x < 5\)
Représentation graphique : Une droite avec deux cercles ouverts aux points 1 et 5, indiquant que 1 et 5 ne sont pas inclus.
Description : Ensemble des nombres \(x\) tels que \(x\) est plus grand que 1 et plus petit que 5.
Étapes : 1. Identifier les bornes : 1 et 5. 2. Utiliser des parenthèses ou des cercles ouverts pour indiquer que les bornes ne sont pas incluses. 3. Écrire l’intervalle en notation \(1 < x < 5\). 4. Dessiner une droite avec des points ouverts à 1 et 5.
2. \(x \leq -4\)
Intervalle ou demi-droite : \(x \leq -4\)
Représentation graphique : Une demi-droite allant de -4 vers la gauche, avec un cercle fermé à -4.
Description : Ensemble des nombres \(x\) tels que \(x\) est inférieur ou égal à -4.
Étapes : 1. Identifier la borne : -4. 2. Utiliser un point fermé à -4 pour indiquer que -4 est inclus. 3. Écrire l’intervalle en notation \(x \leq -4\). 4. Dessiner une demi-droite à partir de -4 vers la gauche.
3. \(x > 7\)
Intervalle ou demi-droite : \(x > 7\)
Représentation graphique : Une demi-droite allant de 7 vers la droite, avec un cercle ouvert à 7.
Description : Ensemble des nombres \(x\) tels que \(x\) est supérieur à 7.
Étapes : 1. Identifier la borne : 7. 2. Utiliser un point ouvert à 7 pour indiquer que 7 n’est pas inclus. 3. Écrire l’intervalle en notation \(x > 7\). 4. Dessiner une demi-droite à partir de 7 vers la droite.
4. \(x \geq -2\)
Intervalle ou demi-droite : \(x \geq -2\)
Représentation graphique : Une demi-droite allant de -2 vers la droite, avec un cercle fermé à -2.
Description : Ensemble des nombres \(x\) tels que \(x\) est supérieur ou égal à -2.
Étapes : 1. Identifier la borne : -2. 2. Utiliser un point fermé à -2 pour indiquer que -2 est inclus. 3. Écrire l’intervalle en notation \(x \geq -2\). 4. Dessiner une demi-droite à partir de -2 vers la droite.
5. \(x < \dfrac{1}{2}\)
Intervalle ou demi-droite : \(x < \dfrac{1}{2}\)
Représentation graphique : Une demi-droite allant de \(\dfrac{1}{2}\) vers la gauche, avec un cercle ouvert à \(\dfrac{1}{2}\).
Description : Ensemble des nombres \(x\) tels que \(x\) est inférieur à \(\dfrac{1}{2}\).
Étapes : 1. Identifier la borne : \(\dfrac{1}{2}\). 2. Utiliser un point ouvert à \(\dfrac{1}{2}\) pour indiquer que \(\dfrac{1}{2}\) n’est pas inclus. 3. Écrire l’intervalle en notation \(x < \dfrac{1}{2}\). 4. Dessiner une demi-droite à partir de \(\dfrac{1}{2}\) vers la gauche.
6. \(x < 0\)
Intervalle ou demi-droite : \(x < 0\)
Représentation graphique : Une demi-droite allant de 0 vers la gauche, avec un cercle ouvert à 0.
Description : Ensemble des nombres \(x\) tels que \(x\) est inférieur à 0.
Étapes : 1. Identifier la borne : 0. 2. Utiliser un point ouvert à 0 pour indiquer que 0 n’est pas inclus. 3. Écrire l’intervalle en notation \(x < 0\). 4. Dessiner une demi-droite à partir de 0 vers la gauche.
7. \(x \leq -3\)
Intervalle ou demi-droite : \(x \leq -3\)
Représentation graphique : Une demi-droite allant de -3 vers la gauche, avec un cercle fermé à -3.
Description : Ensemble des nombres \(x\) tels que \(x\) est inférieur ou égal à -3.
Étapes : 1. Identifier la borne : -3. 2. Utiliser un point fermé à -3 pour indiquer que -3 est inclus. 3. Écrire l’intervalle en notation \(x \leq -3\). 4. Dessiner une demi-droite à partir de -3 vers la gauche.
8. \(-5 < x < -4\)
Intervalle ou demi-droite : \(-5 < x < -4\)
Représentation graphique : Une droite avec deux cercles ouverts aux points -5 et -4, indiquant que -5 et -4 ne sont pas inclus.
Description : Ensemble des nombres \(x\) tels que \(x\) est plus grand que -5 et plus petit que -4.
Étapes : 1. Identifier les bornes : -5 et -4. 2. Utiliser des parenthèses ou des cercles ouverts pour indiquer que les bornes ne sont pas incluses. 3. Écrire l’intervalle en notation \(-5 < x < -4\). 4. Dessiner une droite avec des points ouverts à -5 et -4.
Représentation graphique des intervalles et demi-droites
Pour mieux visualiser les intervalles et demi-droites, voici quelques représentations graphiques :
- Intervalle ouvert \((a, b)\) : \([ \, \circ \;—\; \circ \, ]\)
- Intervalle fermé \([a, b]\) : \([ \, ● \;—\; ● \, ]\)
- Demi-droite vers la droite : \([ a, \rightarrow )\)
- Demi-droite vers la gauche : \(( \leftarrow , a ]\)
Exemples : - \(1 < x < 5\) : Cercle ouvert à 1 et 5 avec une droite entre les deux. - \(x \leq -4\) : Cercle fermé à -4 avec une demi-droite vers la gauche.
Ces représentations aident à visualiser l’ensemble des solutions des inéquations données.