Exercice 37

Question : Les points \(G\), \(P\), \(M\) et \(Q\) sont alignés, tout comme les points \(R\), \(P\), \(N\) et \(S\). Les segments \(GR\) sont parallèles à \(PN\) et à \(QS\). De plus, \(PR = PN\). Quels sont les angles isométriques ?

Réponse

Les angles formés par les segments parallèles \(GR\), \(PN\) et \(QS\) ainsi que les angles à la base des triangles isocèles \(PRN\) sont isométriques.

Corrigé détaillé

Correction détaillée : Identification des angles isométriques

Nous allons analyser la situation donnée étape par étape afin d’identifier les angles isométriques.

Données de l’exercice

• Les points \(G\), \(P\), \(M\) et \(Q\) sont alignés.
• Les points \(R\), \(P\), \(N\) et \(S\) sont également alignés.
• Les segments \(GR\), \(PN\) et \(QS\) sont parallèles entre eux : \(GR \parallel PN \parallel QS\).
• De plus, \(PR = PN\).

Notre objectif est de déterminer quels sont les angles isométriques, c’est-à-dire les angles qui ont la même mesure.

Représentation graphique

Pour mieux visualiser le problème, dessinons un schéma :

1. Tracez une ligne horizontale passant par le point \(P\) et placez les points \(G\), \(P\), \(M\), \(Q\) successivement sur cette ligne.
2. Tracez une ligne verticale passant également par le point \(P\) et placez les points \(R\), \(P\), \(N\), \(S\) successivement sur cette ligne.
3. Tracez les segments \(GR\), \(PN\) et \(QS\), qui sont parallèles.

(Remplacer par un schéma approprié)

Analyse des parallélismes

Nous savons que : \[ GR \parallel PN \parallel QS \]

Cela signifie que les segments sont parallèles deux à deux.

Propriétés des angles alternes-internes

Lorsque deux droites sont parallèles et coupées par une sécante, les angles alternes-internes sont isométriques.

En appliquant cette propriété :

• Le segment \(GR\) coupe les lignes horizontale \(GPMQ\) et verticale \(RPNS\).
• De même, \(QS\) coupe les mêmes lignes.

Ainsi, les angles formés sont isométriques par conséquent.

Égalité des segments \(PR\) et \(PN\)

On nous informe que : \[ PR = PN \]

Cela indique que les triangles formés sont isocèles, ce qui implique que les angles à la base sont égaux.

Conclusion sur les angles isométriques

En combinant les propriétés des parallèles et des triangles isocèles, nous pouvons conclure que les angles suivants sont isométriques :

• Les angles formés entre \(GR\) et \(GPMQ\) sont égaux.
• Les angles formés entre \(QS\) et \(GPMQ\) sont égaux.
• Les angles à la base des triangles formés par \(PR\) et \(PN\) sont égaux.

Par conséquent, les angles isométriques sont ceux formés par les intersections des segments parallèles avec les lignes \(GPMQ\) et \(RPNS\), et les angles à la base des triangles isocèles \(PRN\).

Résumé

Grâce aux propriétés des droites parallèles et des triangles isocèles, nous avons identifié que plusieurs angles dans le schéma sont isométriques. Cette démarche logique permet de conclure sur l’égalité des mesures de ces angles.