Question : Les droites \(p\) et \(q\) sont parallèles et sont coupées par la sécante \(r\) en \(C\) et \(D\). Les angles formés sont numérotés de 1 à 8.
Élise affirme que deux angles opposés par le sommet sont isométriques.
Marc prétend qu’il y a huit paires d’angles adjacents supplémentaires.
Léa pense qu’il y a quatre paires d’angles correspondants.
Thomas est certain qu’il y a autant de paires d’angles alternes-internes que de paires d’angles alternes-externes.
Claire dit que ses copines ont raison, mais que leurs affirmations ne sont plus valables si l’on inverse la direction de la droite \(r\).
Qui a raison ?
La correction montre que les affirmations d’Élise, Léa et Thomas sont correctes, tandis que celles de Marc et Claire sont fausses.
Correction détaillée de l’exercice de géométrie
Nous allons analyser chaque affirmation faite par Élise, Marc, Léa, Thomas et Claire concernant les droites parallèles \(p\) et \(q\) coupées par la sécante \(r\) en \(C\) et \(D\). Les angles formés sont numérotés de 1 à 8.
Élise affirme que deux angles opposés par le sommet sont isométriques.
Les angles opposés par le sommet (également appelés angles verticaux) sont les angles qui se forment à la suite de deux droites qui se coupent. Ils sont situés en face l’un de l’autre.
Lorsque deux droites se coupent, elles forment deux paires d’angles opposés par le sommet par intersection. Ces angles sont congrus (isométriques) car ils partagent le même sommet et sont opposés par les deux droites.
Conclusion: L’affirmation d’Élise est vraie.
\[ \angle 1 \cong \angle 3 \quad \text{et} \quad \angle 2 \cong \angle 4 \]
Marc prétend qu’il y a huit paires d’angles adjacents supplémentaires.
Les angles adjacents supplémentaires sont des angles qui se partagent un côté commun (adjacents) et dont la somme est égale à \(180^\circ\) (supplémentaires). Ceux-ci forment des paires d’angles linéaires.
Chaque intersection des droites forme deux paires d’angles linéaires. Avec deux intersections (\(C\) et \(D\)), le nombre total de paires est :
\[ 2 \text{ intersections} \times 2 \text{ paires par intersection} = 4 \text{ paires} \]
Conclusion: L’affirmation de Marc est fausse. Il y a quatre paires d’angles adjacents supplémentaires, et non huit.
Léa pense qu’il y a quatre paires d’angles correspondants.
Les angles correspondants sont des angles situés à la même position relative par rapport aux droites parallèles et à la sécante.
Pour deux droites parallèles coupées par une sécante, il existe deux paires d’angles correspondants par intersection. Avec deux intersections, nous obtenons :
\[ 2 \text{ intersections} \times 2 \text{ paires par intersection} = 4 \text{ paires} \]
Conclusion: L’affirmation de Léa est vraie.
\[ \angle 1 \cong \angle 5, \quad \angle 2 \cong \angle 6, \quad \angle 3 \cong \angle 7, \quad \angle 4 \cong \angle 8 \]
Thomas est certain qu’il y a autant de paires d’angles alternes-internes que de paires d’angles alternes-externes.
Pour deux droites parallèles coupées par une sécante, à chaque intersection, il y a une paire d’angles alternes-internes et une paire d’angles alternes-externes. Avec deux intersections, nous obtenons :
\[ 2 \text{ intersections} \times 1 \text{ paire alternes-internes} = 2 \text{ paires alternes-internes} \] \[ 2 \text{ intersections} \times 1 \text{ paire alternes-externes} = 2 \text{ paires alternes-externes} \]
Ainsi, le nombre de paires d’angles alternes-internes est égal au nombre de paires d’angles alternes-externes.
Conclusion: L’affirmation de Thomas est vraie.
Claire dit que ses copines ont raison, mais que leurs affirmations ne sont plus valables si l’on inverse la direction de la droite \(r\).
Inverser la direction de la sécante \(r\) revient simplement à changer le sens dans lequel on considère la sécante, mais cela ne modifie pas les propriétés géométriques des angles formés par l’intersection des droites parallèles.
Les propriétés telles que les angles correspondants, alternes-internes ou alternes-externes sont indépendantes de la direction dans laquelle la sécante est tracée. Elles dépendent uniquement de la position relative des droites et de la sécante.
Conclusion: L’affirmation de Claire est fausse. Les propriétés des angles restent valables quelle que soit la direction de la sécante.
En conclusion, les affirmations correctes sont celles d’Élise, Léa et Thomas.