Exercice 33

QRST est un trapèze rectangle avec les bases [QR] et [ST], tel que \(QR = QS = 4\,\mathrm{cm}\) et \(ST = 7\,\mathrm{cm}\).

  1. Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{\mathrm{QST}}\) arrondie au degré.

  2. Calcule les mesures des angles du triangle SHT.

Réponse

  1. ∠QST = 90°
  2. Dans le triangle SHT, on a ∠S = 45°, ∠T ≈ 30° et ∠H ≈ 105°.

Corrigé détaillé

Nous allons montrer une solution complète en construisant un trapèze rectangle répondant aux conditions suivantes :

• Les côtés parallèles (les bases) sont [QR] et [ST] avec QR = 4 cm et ST = 7 cm.
• Les segments QS et QR, qui partent du même sommet Q, sont tels que QS = 4 cm.
• Le trapèze est rectangle (il possède un angle droit).

Pour obtenir une configuration pratique, nous allons construire le trapèze en posant le sommet S comme point de l’angle droit. En effet, si l’on place S de sorte que le côté [SQ] soit vertical et le côté [ST] horizontal, alors l’angle S est droit. Voici une construction adaptée :

–––––– Étape 1. Placement des points ––––––

On choisit dans un repère orthonormé les points suivants :

  1. Placer S à l’origine : S = (0, 0).
  2. Puisque l’angle S est droit, on place le point Q sur la verticale passant par S, de sorte que QS = 4 cm. On pose donc Q = (0, 4).
  3. L’une des bases est [ST] et doit être horizontale. Comme ST = 7 cm, on place T sur l’axe horizontal passant par S : T = (7, 0).
  4. L’autre base [QR] est parallèle à [ST] ; elle sera horizontale, et de longueur 4 cm. On place donc R de manière que QR = 4 cm et que le quadrilatère soit convexe. Pour cela, on choisit R de sorte que QR soit horizontal. Comme Q = (0, 4), on peut poser : R = (4, 4).

La figure ainsi construite a pour sommets, dans l’ordre Q, R, S, T (en notant que pour obtenir un quadrilatère convexe, l’ordre cyclique peut être Q → R → T → S ; nous verrons qu’après une numérotation judicieuse, les segments [QR] et [ST] seront bien les bases parallèles).

• La base supérieure est [QR] = de Q = (0, 4) à R = (4, 4) de longueur 4 cm.
• La base inférieure est [ST] = de S = (0, 0) à T = (7, 0) de longueur 7 cm.
• Le segment QS relie Q = (0, 4) à S = (0, 0) et sa longueur est bien 4 cm.
• L’angle en S est formé par [SQ] vertical et [ST] horizontal, donc ∠QST = 90°.

–––––– Étape 2. Correction de la question (a) ––––––

On vous demande de calculer la mesure de l’angle ∠QST.

• Le point S est commun aux segments [SQ] et [ST].
• D’après notre construction, S = (0, 0), Q = (0, 4) et T = (7, 0).
• Le vecteur SQ va de S vers Q et est vertical (direction (0, 4)) tandis que ST va de S vers T et est horizontal (direction (7, 0)).
• Un vecteur vertical et un vecteur horizontal font un angle de 90°.

Par conséquent, ∠QST = 90° (arrondi au degré près).

–––––– Étape 3. Détermination du point H et du triangle SHT ––––––

Dans de nombreux problèmes sur les trapèzes, on désigne par H le point d’intersection des diagonales. Nous définissons donc H comme le point d’intersection de la diagonale [QT] et de la diagonale [RS].

Nous connaissons les coordonnées :

• Q = (0, 4)
• R = (4, 4)
• S = (0, 0)
• T = (7, 0)

Calculons les équations paramétriques des droites des diagonales.

∙ Diagonale QT passant par Q et T
– Coordonnées de Q : (0, 4)
– Coordonnées de T : (7, 0)
– Le vecteur directeur est QT = T – Q = (7 – 0, 0 – 4) = (7, –4).
– L’équation paramétrique de QT est :
  x = 0 + 7u et y = 4 – 4u, avec u ∈ [0, 1].

∙ Diagonale RS passant par R et S
– Coordonnées de R : (4, 4)
– Coordonnées de S : (0, 0)
– Le vecteur directeur est RS = S – R = (0 – 4, 0 – 4) = (–4, –4).
– L’équation paramétrique de RS est :
  x = 4 – 4v et y = 4 – 4v, avec v ∈ [0, 1].

Le point H se trouve pour des paramètres u et v tels que :

  (7u, 4 – 4u) = (4 – 4v, 4 – 4v).

On met d’abord l’égalité pour la coordonnée y :   4 – 4u = 4 – 4v ⟹ u = v.

Puis pour la coordonnée x :   7u = 4 – 4u ⟹ 7u + 4u = 4 ⟹ 11u = 4 ⟹ u = 4/11.

Ainsi, le point H a pour coordonnées (x, y) avec :   x = 7 × (4/11) = 28/11 et y = 4 – 4×(4/11) = 4 – 16/11 = (44 – 16)/11 = 28/11. On trouve donc H = (28/11, 28/11).

–––––– Étape 4. Étude du triangle SHT ––––––

Le triangle SHT a pour sommets :   S = (0, 0), H = (28/11, 28/11) et T = (7, 0).

Il nous faut déterminer les mesures de ses angles.

  1. Calcul des longueurs des côtés

• Côté [SH] : distance entre S = (0, 0) et H = (28/11, 28/11)
  SH = √[(28/11 – 0)² + (28/11 – 0)²]
     = √[ (28/11)² + (28/11)² ]
     = (28/11) √2.

• Côté [HT] : distance entre H = (28/11, 28/11) et T = (7, 0)
  D’abord, calculer les différences :
    x_T – x_H = 7 – (28/11) = (77 – 28)/11 = 49/11,
    y_T – y_H = 0 – (28/11) = –28/11.
  Donc,
  HT = √[(49/11)² + (28/11)²]
     = (1/11) √(49² + 28²).
  Calculons : 49² = 2401 et 28² = 784, donc 2401 + 784 = 3185.
  Remarquons que 3185 = 49 × 65, ainsi
    √3185 = √(49 × 65) = 7 √65.
  Alors,
  HT = (7 √65) / 11.

• Côté [ST] : distance entre S = (0, 0) et T = (7, 0)
  ST = 7.

  1. Calcul de ∠S (au sommet S)

Cet angle est formé par les vecteurs :   → SH = H – S = (28/11, 28/11)
  → ST = T – S = (7, 0).

Le produit scalaire :   SH · ST = (28/11)×7 + (28/11)×0 = 196/11.

Les normes :   |SH| = (28/11) √2 et |ST| = 7.

Donc,   cos(∠S) = (196/11) / [7 × (28/11) √2] = (196/11) / [(196/11) √2] = 1/√2.

Ainsi, ∠S = arccos(1/√2) = 45°.

  1. Calcul de ∠T (au sommet T)

Cet angle est formé par les vecteurs :   → TS = S – T = (0 – 7, 0 – 0) = (–7, 0),
  → TH = H – T = ((28/11) – 7, (28/11) – 0).

Calculons TH :   x : (28/11 – 7) = (28 – 77)/11 = –49/11,
  y : 28/11. Donc TH = (–49/11, 28/11).

Le produit scalaire :   TS · TH = (–7)×(–49/11) + 0×(28/11) = 343/11.

Les normes :   |TS| = 7,
  |TH| = HT = (7√65)/11.

On a donc :   cos(∠T) = (343/11) / [7 × (7√65)/11] = (343/11) / (49√65/11) = 343/(49√65) = 7/√65.

Calculons numériquement 7/√65 :   √65 ≈ 8.06 donc 7/8.06 ≈ 0,868. On connaît que cos(30°) ≈ 0,866, ce qui permet d’identifier :
  ∠T ≈ 30°.

  1. Calcul de ∠H (au sommet H)

La somme des angles d’un triangle est 180°, donc :   ∠H = 180° – ∠S – ∠T = 180° – 45° – 30° = 105°.

–––––– Conclusion ––––––

  1. La mesure de l’angle ∠QST est 90°.

  2. Dans le triangle SHT, les mesures arrondies des angles sont :   ∠S = 45°, ∠T ≈ 30° et ∠H ≈ 105°.

Cette correction détaillée explique pas à pas comment positionner les points pour satisfaire les conditions du problème, déterminer le point d’intersection des diagonales (point H) et calculer les angles en utilisant la formule du produit scalaire et la somme des angles dans un triangle.

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