Exercice 27
Construisez un cercle \(C\) de 5 cm de diamètre.
Construisez un angle inscrit \(\alpha\) qui intercepte un demi-cercle.
Construisez l’angle au centre \(\beta\) qui intercepte ce même demi-cercle.
Calculez la mesure des angles \(\alpha\) et \(\beta\).
Réponse
Résumé de la correction :
- Construction du cercle : Un cercle \(C\) de diamètre 5 cm a été tracé.
- Angles construits :
- Angle inscrit \(\alpha\) : Intercepte un demi-cercle et mesure 90°.
- Angle au centre \(\beta\) : Intercepte le même demi-cercle et mesure 180°.
- Résultats :
- \(\alpha = 90°\)
- \(\beta = 180°\)
Cette relation illustre que l’angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit, tandis que l’angle au centre correspondant est plat.
Corrigé détaillé
Correction de l’exercice
Question : 1. Construisez un cercle \(C\) de 5 cm de diamètre. 2. Construisez un angle inscrit \(\alpha\) qui intercepte un demi-cercle. 3. Construisez l’angle au centre \(\beta\) qui intercepte ce même demi-cercle. 4. Calculez la mesure des angles \(\alpha\) et \(\beta\).
1. Construction d’un cercle \(C\) de 5 cm de diamètre
Étapes : 1. Tracer le diamètre : Prenez une règle graduée et tracez une ligne droite de 5 cm de long. Cette ligne représente le diamètre du cercle \(C\).
Définir le centre du cercle : Identifiez le milieu de la ligne tracée. Vous pouvez utiliser une règle ou compas pour trouver ce point. Appelons ce point \(O\) le centre du cercle.
Tracer le cercle : Placez la pointe sèche du compas au centre \(O\). Ouvrez le compas pour qu’il ait une ouverture de 2,5 cm (la moitié du diamètre). Tracez le cercle complet en faisant tourner le compas à 360 degrés autour de \(O\).
Illustration :
(Image illustrative)
2. Construction d’un angle inscrit \(\alpha\) interceptant un demi-cercle
Définition : Un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur la circonférence du cercle et dont les côtés sont des cordes du cercle.
Étapes : 1. Choisir un point sur le cercle : Sélectionnez un point \(A\) sur la circonférence du cercle \(C\).
Définir l’angle inscrit : À partir de \(A\), tracez deux cordes qui rejoignent \(A\) aux extrémités du diamètre. Ces extrémités sont les points \(B\) et \(C\) sur le cercle.
Former l’angle \(\alpha\) : L’angle \(\alpha\) est formé par les segments \(AB\) et \(AC\).
Remarque : L’arc intercepté par l’angle \(\alpha\) est un demi-cercle, c’est-à-dire un arc de 180°.
Illustration :
(Image illustrative)
3. Construction de l’angle au centre \(\beta\) interceptant le même demi-cercle
Définition : Un angle au centre est un angle dont le sommet est au centre du cercle et dont les côtés sont des rayons du cercle.
Étapes : 1. Définir l’angle \(\beta\) : Depuis le centre \(O\), tracez deux rayons \(OB\) et \(OC\) qui rejoignent les points \(B\) et \(C\) sur la circonférence.
- Former l’angle \(\beta\) : L’angle \(\beta\) est formé par les rayons \(OB\) et \(OC\).
Remarque : L’arc intercepté par l’angle \(\beta\) est également un demi-cercle, soit un arc de 180°.
Illustration :
(Image illustrative)
4. Calcul de la mesure des angles \(\alpha\) et \(\beta\)
Propriétés géométriques utilisées : - Angle au centre : L’angle au centre est égal à la mesure de l’arc qu’il intercepte.
- Angle inscrit : L’angle inscrit est égal à la moitié de la mesure de l’arc qu’il intercepte.
Calculs :
- Angle au centre \(\beta\) :
- L’arc intercepté est un demi-cercle, donc sa mesure est de 180°.
- Donc, \(\beta = 180°\).
- Angle inscrit \(\alpha\) :
- L’angle inscrit est égal à la moitié de la mesure de l’arc intercepté.
- Donc, \(\alpha = \frac{180°}{2} = 90°\).
Résultats : - Mesure de l’angle \(\alpha\) : \(\alpha = 90°\) - Mesure de l’angle \(\beta\) : \(\beta = 180°\)
Conclusion :
En construisant un angle inscrit et un angle au centre interceptant le même demi-cercle, nous avons déterminé que l’angle inscrit \(\alpha\) mesure 90° et l’angle au centre \(\beta\) mesure 180°. Cette relation illustre une propriété fondamentale de la géométrie des cercles concernant les angles interceptés par des arcs.