Exercice 26
Exercice
Tracez un cercle \(c\) de centre
\(O\) et de diamètre \(CD\).
Placez trois points \(X\), \(Y\) et \(Z\) sur ce cercle.
Mesurez les angles \(\widehat{CXD}\), \(\widehat{CYD}\) et \(\widehat{CZD}\).
Formulez une conjecture basée sur vos observations et prouvez-la.
Réponse
Les angles \(\widehat{CXD}\), \(\widehat{CYD}\) et \(\widehat{CZD}\) sont tous de \(90^\circ\) car tout angle inscrit dont les
côtés passent par les extrémités d’un diamètre est un angle droit,
conformément au théorème de Thalès.
Corrigé détaillé
Correction de l’Exercice
Enoncé de l’exercice :
Tracez un cercle \(c\) de centre
\(O\) et de diamètre \(CD\).
Placez trois points \(X\), \(Y\) et \(Z\) sur ce cercle.
Mesurez les angles \(\widehat{CXD}\), \(\widehat{CYD}\) et \(\widehat{CZD}\).
Formulez une conjecture basée sur vos observations et prouvez-la.
Étape 1 : Tracé
du cercle et placement des points
- Tracer le cercle \(c\) :
- Utilisez un compas pour tracer un cercle de centre \(O\) et de rayon quelconque.
- Tracer le diamètre \(CD\) :
- Identifiez deux points diamétralement opposés sur le cercle et
nommez-les \(C\) et \(D\).
- Reliez \(C\) et \(D\) avec une droite pour obtenir le
diamètre \(CD\).
- Placer les points \(X\),
\(Y\) et \(Z\) :
- Choisissez trois points distincts sur le cercle \(c\) et nommez-les \(X\), \(Y\)
et \(Z\).
Étape 2 : Mesure des angles
- Mesurer \(\widehat{CXD}\) :
- Reliez les points \(C\) et \(D\) à \(X\) pour former l’angle \(\widehat{CXD}\).
- Utilisez un rapporteur pour mesurer la mesure de cet angle.
- Mesurer \(\widehat{CYD}\) :
- Reliez les points \(C\) et \(D\) à \(Y\) pour former l’angle \(\widehat{CYD}\).
- Mesurez cet angle de la même manière.
- Mesurer \(\widehat{CZD}\) :
- Reliez les points \(C\) et \(D\) à \(Z\) pour former l’angle \(\widehat{CZD}\).
- Mesurez cet angle également.
- Observation des mesures :
- Supposons que les mesures des angles \(\widehat{CXD}\), \(\widehat{CYD}\) et \(\widehat{CZD}\) sont toutes égales à \(90^\circ\).
- Formulation de la conjecture :
- Conjecture : Tout angle inscrit dont le sommet
est relié par un diamètre est un angle droit.
Étape 4 : Preuve de la
conjecture
Pour démontrer la conjecture, nous utiliserons le théorème de
Thalès.
Théorème de Thalès : Dans un cercle, tout angle
inscrit restant sur un diamètre est un angle droit.
Preuve :
- Considérons le cercle \(c\)
avec le diamètre \(CD\) :
- Soit un point \(P\) quelconque sur
le cercle distinct de \(C\) et \(D\).
- Construction des segments \(CP\) et \(DP\) :
- Relions \(C\) et \(P\), puis \(D\) et \(P\).
- Identification des angles dans le triangle \(CPD\) :
- Le triangle \(CPD\) est inscrit
dans le cercle avec \(CD\) comme
base.
- Application des propriétés des angles inscrits :
- L’angle au centre \(\widehat{COD}\)
intercepté par l’arc \(CD\) est
équivalent à \(180^\circ\) (puisque
\(CD\) est un diamètre).
- Relation entre l’angle inscrit et l’angle au centre
:
- Un angle inscrit est égal à la moitié de l’angle au centre
interceptant le même arc.
- Donc, \(\angle CPD = \frac{1}{2} \times
180^\circ = 90^\circ\).
- Conclusion :
- Ainsi, tout angle inscrit dont les côtés passent par les extrémités
du diamètre est un angle droit.
Conclusion de la preuve : La conjecture est
vérifiée. Tout angle inscrit sur un diamètre est nécessairement un angle
droit.
Remarque
Ce résultat est connu sous le nom de Théorème de
Thalès en géométrie. Il est très utile pour reconnaître des
angles droits dans des figures géométriques impliquant des cercles.