Exercice 26

Exercice

Tracez un cercle \(c\) de centre \(O\) et de diamètre \(CD\).

Placez trois points \(X\), \(Y\) et \(Z\) sur ce cercle.

Mesurez les angles \(\widehat{CXD}\), \(\widehat{CYD}\) et \(\widehat{CZD}\).

Formulez une conjecture basée sur vos observations et prouvez-la.

Réponse

Les angles \(\widehat{CXD}\), \(\widehat{CYD}\) et \(\widehat{CZD}\) sont tous de \(90^\circ\) car tout angle inscrit dont les côtés passent par les extrémités d’un diamètre est un angle droit, conformément au théorème de Thalès.

Corrigé détaillé

Correction de l’Exercice

Enoncé de l’exercice :

Tracez un cercle \(c\) de centre \(O\) et de diamètre \(CD\).

Placez trois points \(X\), \(Y\) et \(Z\) sur ce cercle.

Mesurez les angles \(\widehat{CXD}\), \(\widehat{CYD}\) et \(\widehat{CZD}\).

Formulez une conjecture basée sur vos observations et prouvez-la.

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Étape 1 : Tracé du cercle et placement des points

1. Tracer le cercle \(c\) :
   • Utilisez un compas pour tracer un cercle de centre \(O\) et de rayon quelconque.
2. Tracer le diamètre \(CD\) :
   • Identifiez deux points diamétralement opposés sur le cercle et nommez-les \(C\) et \(D\).
   • Reliez \(C\) et \(D\) avec une droite pour obtenir le diamètre \(CD\).
3. Placer les points \(X\), \(Y\) et \(Z\) :
   • Choisissez trois points distincts sur le cercle \(c\) et nommez-les \(X\), \(Y\) et \(Z\).

Étape 2 : Mesure des angles

1. Mesurer \(\widehat{CXD}\) :
   • Reliez les points \(C\) et \(D\) à \(X\) pour former l’angle \(\widehat{CXD}\).
   • Utilisez un rapporteur pour mesurer la mesure de cet angle.
2. Mesurer \(\widehat{CYD}\) :
   • Reliez les points \(C\) et \(D\) à \(Y\) pour former l’angle \(\widehat{CYD}\).
   • Mesurez cet angle de la même manière.
3. Mesurer \(\widehat{CZD}\) :
   • Reliez les points \(C\) et \(D\) à \(Z\) pour former l’angle \(\widehat{CZD}\).
   • Mesurez cet angle également.

Étape 3 : Observation et formulation de la conjecture

• Observation des mesures :
  • Supposons que les mesures des angles \(\widehat{CXD}\), \(\widehat{CYD}\) et \(\widehat{CZD}\) sont toutes égales à \(90^\circ\).
• Formulation de la conjecture :
  • Conjecture : Tout angle inscrit dont le sommet est relié par un diamètre est un angle droit.

Étape 4 : Preuve de la conjecture

Pour démontrer la conjecture, nous utiliserons le théorème de Thalès.

Théorème de Thalès : Dans un cercle, tout angle inscrit restant sur un diamètre est un angle droit.

Preuve :

1. Considérons le cercle \(c\) avec le diamètre \(CD\) :
   • Soit un point \(P\) quelconque sur le cercle distinct de \(C\) et \(D\).
2. Construction des segments \(CP\) et \(DP\) :
   • Relions \(C\) et \(P\), puis \(D\) et \(P\).
3. Identification des angles dans le triangle \(CPD\) :
   • Le triangle \(CPD\) est inscrit dans le cercle avec \(CD\) comme base.
4. Application des propriétés des angles inscrits :
   • L’angle au centre \(\widehat{COD}\) intercepté par l’arc \(CD\) est équivalent à \(180^\circ\) (puisque \(CD\) est un diamètre).
5. Relation entre l’angle inscrit et l’angle au centre :
   • Un angle inscrit est égal à la moitié de l’angle au centre interceptant le même arc.
   • Donc, \(\angle CPD = \frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ\).
6. Conclusion :
   • Ainsi, tout angle inscrit dont les côtés passent par les extrémités du diamètre est un angle droit.

Conclusion de la preuve : La conjecture est vérifiée. Tout angle inscrit sur un diamètre est nécessairement un angle droit.

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Remarque

Ce résultat est connu sous le nom de Théorème de Thalès en géométrie. Il est très utile pour reconnaître des angles droits dans des figures géométriques impliquant des cercles.