Exercice 26

Exercice

Tracez un cercle \(c\) de centre \(O\) et de diamètre \(CD\).

Placez trois points \(X\), \(Y\) et \(Z\) sur ce cercle.

Mesurez les angles \(\widehat{CXD}\), \(\widehat{CYD}\) et \(\widehat{CZD}\).

Formulez une conjecture basée sur vos observations et prouvez-la.

Réponse

Les angles \(\widehat{CXD}\), \(\widehat{CYD}\) et \(\widehat{CZD}\) sont tous de \(90^\circ\) car tout angle inscrit dont les côtés passent par les extrémités d’un diamètre est un angle droit, conformément au théorème de Thalès.

Corrigé détaillé

Correction de l’Exercice

Enoncé de l’exercice :

Tracez un cercle \(c\) de centre \(O\) et de diamètre \(CD\).

Placez trois points \(X\), \(Y\) et \(Z\) sur ce cercle.

Mesurez les angles \(\widehat{CXD}\), \(\widehat{CYD}\) et \(\widehat{CZD}\).

Formulez une conjecture basée sur vos observations et prouvez-la.


Étape 1 : Tracé du cercle et placement des points
  1. Tracer le cercle \(c\) :
    • Utilisez un compas pour tracer un cercle de centre \(O\) et de rayon quelconque.
  2. Tracer le diamètre \(CD\) :
    • Identifiez deux points diamétralement opposés sur le cercle et nommez-les \(C\) et \(D\).
    • Reliez \(C\) et \(D\) avec une droite pour obtenir le diamètre \(CD\).
  3. Placer les points \(X\), \(Y\) et \(Z\) :
    • Choisissez trois points distincts sur le cercle \(c\) et nommez-les \(X\), \(Y\) et \(Z\).
Étape 2 : Mesure des angles
  1. Mesurer \(\widehat{CXD}\) :
    • Reliez les points \(C\) et \(D\) à \(X\) pour former l’angle \(\widehat{CXD}\).
    • Utilisez un rapporteur pour mesurer la mesure de cet angle.
  2. Mesurer \(\widehat{CYD}\) :
    • Reliez les points \(C\) et \(D\) à \(Y\) pour former l’angle \(\widehat{CYD}\).
    • Mesurez cet angle de la même manière.
  3. Mesurer \(\widehat{CZD}\) :
    • Reliez les points \(C\) et \(D\) à \(Z\) pour former l’angle \(\widehat{CZD}\).
    • Mesurez cet angle également.
Étape 3 : Observation et formulation de la conjecture
Étape 4 : Preuve de la conjecture

Pour démontrer la conjecture, nous utiliserons le théorème de Thalès.

Théorème de Thalès : Dans un cercle, tout angle inscrit restant sur un diamètre est un angle droit.

Preuve :

  1. Considérons le cercle \(c\) avec le diamètre \(CD\) :
    • Soit un point \(P\) quelconque sur le cercle distinct de \(C\) et \(D\).
  2. Construction des segments \(CP\) et \(DP\) :
    • Relions \(C\) et \(P\), puis \(D\) et \(P\).
  3. Identification des angles dans le triangle \(CPD\) :
    • Le triangle \(CPD\) est inscrit dans le cercle avec \(CD\) comme base.
  4. Application des propriétés des angles inscrits :
    • L’angle au centre \(\widehat{COD}\) intercepté par l’arc \(CD\) est équivalent à \(180^\circ\) (puisque \(CD\) est un diamètre).
  5. Relation entre l’angle inscrit et l’angle au centre :
    • Un angle inscrit est égal à la moitié de l’angle au centre interceptant le même arc.
    • Donc, \(\angle CPD = \frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ\).
  6. Conclusion :
    • Ainsi, tout angle inscrit dont les côtés passent par les extrémités du diamètre est un angle droit.

Conclusion de la preuve : La conjecture est vérifiée. Tout angle inscrit sur un diamètre est nécessairement un angle droit.


Remarque

Ce résultat est connu sous le nom de Théorème de Thalès en géométrie. Il est très utile pour reconnaître des angles droits dans des figures géométriques impliquant des cercles.

En haut

Acceptez-vous que toute votre activité sur le site soit enregistrée à des fins d'amélioration et que des données soient stockées sur votre appareil (cookies) ?


Fermer