Exercice 20

Calculer l’angle au centre qui intercepte un secteur de \(24 \, \text{cm}^2\) d’aire sur un disque de 8 cm de rayon.

Réponse

L’angle au centre est de 3/4 radians, soit environ 43°.

Corrigé détaillé

Nous allons utiliser la formule de l’aire d’un secteur circulaire qui s’exprime en radians :

  Aire du secteur = (θ × r²) / 2

où θ est l’angle au centre en radians et r est le rayon du disque.

  1. Dans notre exercice, l’aire du secteur est de 24 cm² et le rayon r = 8 cm.

  2. Remplaçons ces valeurs dans la formule :   24 = (θ × 8²) / 2
      24 = (θ × 64) / 2

  3. Simplifions le dénominateur :   24 = θ × 32

  4. Pour isoler θ, divisons les deux côtés de l’équation par 32 :   θ = 24 / 32

  5. Simplifions cette fraction :   θ = 3 / 4

Ainsi, l’angle au centre est de 3/4 radians.

Si vous souhaitez obtenir cet angle en degrés, rappelez-vous que 1 radian ≈ 57,3°. Donc,   θ ≈ (3/4) × 57,3 ≈ 42,975°, ce qui s’arrondit à environ 43°.

La solution complète est donc : l’angle au centre qui intercepte un secteur de 24 cm² sur un disque de 8 cm de rayon est de 3/4 radians (environ 43°).

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