Question : \(M\), \(N\) et \(T\) sont trois points d’un cercle \(d\) de centre \(P\).
Trace cette figure dans ton cahier en déplaçant le point \(T\) à plusieurs positions différentes.
Pour chaque nouvelle position de \(T\), compare les mesures de l’angle inscrit \(\gamma = \angle MTN\) et de l’angle au centre \(\delta = \angle MPN\).
Que observes-tu ?
Quelle conjecture peux-tu formuler à partir de tes observations ?
a) Observation : L’angle au centre est toujours le double de l’angle inscrit.
b) Conjecture : Dans un cercle, un angle inscrit est la moitié de l’angle au centre correspondant.
Nous allons analyser l’exercice étape par étape pour comprendre la relation entre un angle inscrit et un angle au centre dans un cercle.
Question : \(M\), \(N\) et \(T\) sont trois points d’un cercle \(d\) de centre \(P\).
Trace cette figure dans ton cahier en déplaçant le point \(T\) à plusieurs positions différentes.
Pour chaque nouvelle position de \(T\), compare les mesures de l’angle inscrit \(\gamma = \angle MTN\) et de l’angle au centre \(\delta = \angle MPN\).
a) Que observes-tu ?
b) Quelle conjecture peux-tu formuler à partir de tes observations ?
Construction de la figure :
Déplacement du point \(T\) :
Mesure des angles :
Collecte des données :
Position de \(T\) | Mesure de \(\gamma = \angle MTN\) | Mesure de \(\delta = \angle MPN\) |
---|---|---|
\(T_1\) | 30° | 60° |
\(T_2\) | 45° | 90° |
\(T_3\) | 60° | 120° |
… | … | … |
Analyse des mesures :
À partir de nos observations, nous pouvons formuler la conjecture suivante :
Conjecture : Dans un cercle, la mesure de l’angle inscrit est toujours la moitié de la mesure de l’angle au centre correspondant.
Formellement : \[ \gamma = \frac{1}{2} \delta \]
Angle au centre (\(\delta\)) : C’est l’angle dont le sommet est le centre du cercle, ici \(P\), et dont les côtés passent par deux points du cercle, ici \(M\) et \(N\).
Angle inscrit (\(\gamma\)) : C’est l’angle dont le sommet est un point quelconque du cercle, ici \(T\), et dont les côtés passent par les mêmes deux points du cercle \(M\) et \(N\).
Relation entre les angles : Lorsque le point \(T\) se déplace autour du cercle, les côtés de l’angle inscrit \(\gamma\) restent tangents au cercle, ce qui fait que sa mesure est systématiquement la moitié de celle de l’angle au centre \(\delta\).
Ainsi, nous avons démontré par observation que dans un cercle, l’angle inscrit est toujours la moitié de l’angle au centre associé. Cette propriété est fondamentale en géométrie et permet de résoudre de nombreux problèmes liés aux cercles et aux angles.