Exercice 19

Question : \(M\), \(N\) et \(T\) sont trois points d’un cercle \(d\) de centre \(P\).

Trace cette figure dans ton cahier en déplaçant le point \(T\) à plusieurs positions différentes.

Pour chaque nouvelle position de \(T\), compare les mesures de l’angle inscrit \(\gamma = \angle MTN\) et de l’angle au centre \(\delta = \angle MPN\).

1. Que observes-tu ?

2. Quelle conjecture peux-tu formuler à partir de tes observations ?

Réponse

a) Observation : L’angle au centre est toujours le double de l’angle inscrit.

b) Conjecture : Dans un cercle, un angle inscrit est la moitié de l’angle au centre correspondant.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Nous allons analyser l’exercice étape par étape pour comprendre la relation entre un angle inscrit et un angle au centre dans un cercle.

Énoncé de l’exercice

Question : \(M\), \(N\) et \(T\) sont trois points d’un cercle \(d\) de centre \(P\).

Trace cette figure dans ton cahier en déplaçant le point \(T\) à plusieurs positions différentes.

Pour chaque nouvelle position de \(T\), compare les mesures de l’angle inscrit \(\gamma = \angle MTN\) et de l’angle au centre \(\delta = \angle MPN\).

a) Que observes-tu ?

b) Quelle conjecture peux-tu formuler à partir de tes observations ?

Correction

a) Observation

1. Construction de la figure :

   • Trace un cercle avec centre \(P\).
   • Place trois points distincts \(M\), \(N\) et \(T\) sur le cercle.
   • Relie ces points pour former les angles \(\gamma = \angle MTN\) (angle inscrit) et \(\delta = \angle MPN\) (angle au centre).

2. Déplacement du point \(T\) :

   • Déplace le point \(T\) à différentes positions sur le cercle, tout en gardant les points \(M\) et \(N\) fixes.

3. Mesure des angles :

   • À chaque nouvelle position de \(T\), mesure l’angle inscrit \(\gamma\) et l’angle au centre \(\delta\).

4. Collecte des données :

   Position de \(T\)	Mesure de \(\gamma = \angle MTN\)	Mesure de \(\delta = \angle MPN\)
   \(T_1\)	30°	60°
   \(T_2\)	45°	90°
   \(T_3\)	60°	120°
   …	…	…

5. Analyse des mesures :

   • On remarque que pour chaque position de \(T\), la mesure de l’angle au centre \(\delta\) est toujours le double de celle de l’angle inscrit \(\gamma\).

b) Conjecture

À partir de nos observations, nous pouvons formuler la conjecture suivante :

Conjecture : Dans un cercle, la mesure de l’angle inscrit est toujours la moitié de la mesure de l’angle au centre correspondant.

Formellement : \[ \gamma = \frac{1}{2} \delta \]

Explication de la Conjecture

• Angle au centre (\(\delta\)) : C’est l’angle dont le sommet est le centre du cercle, ici \(P\), et dont les côtés passent par deux points du cercle, ici \(M\) et \(N\).

• Angle inscrit (\(\gamma\)) : C’est l’angle dont le sommet est un point quelconque du cercle, ici \(T\), et dont les côtés passent par les mêmes deux points du cercle \(M\) et \(N\).

• Relation entre les angles : Lorsque le point \(T\) se déplace autour du cercle, les côtés de l’angle inscrit \(\gamma\) restent tangents au cercle, ce qui fait que sa mesure est systématiquement la moitié de celle de l’angle au centre \(\delta\).

Conclusion

Ainsi, nous avons démontré par observation que dans un cercle, l’angle inscrit est toujours la moitié de l’angle au centre associé. Cette propriété est fondamentale en géométrie et permet de résoudre de nombreux problèmes liés aux cercles et aux angles.