Exercice 5

Quel est le rayon d’un cercle dans lequel un angle au centre de \(72^{\circ}\) intercepte un arc de 12 cm ?

Réponse

Le rayon du cercle est \(\frac{30}{\pi}\) cm, soit environ 9,55 cm.

Corrigé détaillé

Pour déterminer le rayon \(r\) d’un cercle où un angle au centre de \(72^{\circ}\) intercepte un arc de \(12\) cm, nous allons suivre les étapes suivantes :

1. Comprendre les termes
2. Formule de l’arc intercepté

La longueur de l’arc intercepté par un angle au centre est donnée par la formule : \[ s = r \times \theta \] où : - \(s\) est la longueur de l’arc, - \(r\) est le rayon du cercle, - \(\theta\) est l’angle au centre en radians.

3. Conversion de l’angle en radians

Étant donné que notre angle est en degrés, nous devons le convertir en radians : \[ \theta (\text{en radians}) = \theta (\text{en degrés}) \times \left( \frac{\pi}{180} \right) \] Pour \(\theta = 72^{\circ}\) : \[ \theta = 72 \times \left( \frac{\pi}{180} \right) = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5} \text{ radians} \]

4. Appliquer la formule de l’arc

Nous avons : \[ s = 12 \text{ cm}, \quad \theta = \frac{2\pi}{5} \text{ radians} \] En remplaçant dans la formule \(s = r \times \theta\) : \[ 12 = r \times \frac{2\pi}{5} \]

5. Résoudre pour le rayon \(r\)

Isolons \(r\) : \[ r = \frac{12 \times 5}{2\pi} = \frac{60}{2\pi} = \frac{30}{\pi} \text{ cm} \]

6. Résultat final

Le rayon du cercle est donc : \[ r = \frac{30}{\pi} \text{ cm} \approx 9,55 \text{ cm} \] (En prenant \(\pi \approx 3,14\))

Ainsi, le rayon du cercle est \(\frac{30}{\pi}\) cm, ce qui correspond approximativement à \(9,55\) cm.

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