Exercice 5

Quel est le rayon d’un cercle dans lequel un angle au centre de \(72^{\circ}\) intercepte un arc de 12 cm ?

Réponse

Le rayon du cercle est \(\frac{30}{\pi}\) cm, soit environ 9,55 cm.

Corrigé détaillé

Pour déterminer le rayon \(r\) d’un cercle où un angle au centre de \(72^{\circ}\) intercepte un arc de \(12\) cm, nous allons suivre les étapes suivantes :

1. Comprendre les termes

• Angle au centre : C’est l’angle formé par deux rayons du cercle qui interceptent un arc.
• Arc : Partie du cercle délimitée par deux points sur sa circonférence.
• Rayon : Distance entre le centre du cercle et un point quelconque de sa circonférence.

2. Formule de l’arc intercepté

La longueur de l’arc intercepté par un angle au centre est donnée par la formule : \[ s = r \times \theta \] où : - \(s\) est la longueur de l’arc, - \(r\) est le rayon du cercle, - \(\theta\) est l’angle au centre en radians.

3. Conversion de l’angle en radians

Étant donné que notre angle est en degrés, nous devons le convertir en radians : \[ \theta (\text{en radians}) = \theta (\text{en degrés}) \times \left( \frac{\pi}{180} \right) \] Pour \(\theta = 72^{\circ}\) : \[ \theta = 72 \times \left( \frac{\pi}{180} \right) = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5} \text{ radians} \]

4. Appliquer la formule de l’arc

Nous avons : \[ s = 12 \text{ cm}, \quad \theta = \frac{2\pi}{5} \text{ radians} \] En remplaçant dans la formule \(s = r \times \theta\) : \[ 12 = r \times \frac{2\pi}{5} \]

5. Résoudre pour le rayon \(r\)

Isolons \(r\) : \[ r = \frac{12 \times 5}{2\pi} = \frac{60}{2\pi} = \frac{30}{\pi} \text{ cm} \]

6. Résultat final

Le rayon du cercle est donc : \[ r = \frac{30}{\pi} \text{ cm} \approx 9,55 \text{ cm} \] (En prenant \(\pi \approx 3,14\))

Ainsi, le rayon du cercle est \(\frac{30}{\pi}\) cm, ce qui correspond approximativement à \(9,55\) cm.