Exercice 4
Question : Un lampadaire de \(3{,}00\,\mathrm{m}\) de hauteur projette sur le sol un cercle de rayon \(1{,}20\,\mathrm{m}\).
Quelle est la mesure de l’angle, arrondie à l’unité près, formé par le cône de lumière avec le sol ?
Réponse
Réponse : L’angle formé par le cône de lumière avec le sol est d’environ 22 °.
Corrigé détaillé
Correction détaillée : Mesure de l’angle formé par le cône de lumière avec le sol
Nous devons déterminer l’angle formé par le cône de lumière d’un lampadaire avec le sol. Voici les étapes pour arriver à la solution.
Étape 1 : Comprendre le problème
- Hauteur du lampadaire : \(3{,}00\,\mathrm{m}\)
- Rayon du cercle projeté sur le sol : \(1{,}20\,\mathrm{m}\)
Nous cherchons à déterminer l’angle formé par le cône de lumière avec le sol, c’est-à-dire l’angle entre la hauteur du lampadaire et la génératrice du cône de lumière.
Étape 2 : Modéliser la situation
Imaginons un triangle rectangle formé par : - La hauteur du lampadaire (\(h = 3{,}00\,\mathrm{m}\)) en tant que côté adjacent. - Le rayon du cercle projeté (\(r = 1{,}20\,\mathrm{m}\)) en tant que côté opposé. - La génératrice du cône de lumière comme l’hypoténuse.
Figure : Triangle rectangle formé par le lampadaire, le rayon du cercle et la génératrice du cône.
Étape 3 : Utiliser la tangente de l’angle
Dans un triangle rectangle, la tangente de l’angle \(\theta\) est le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent.
\[ \tan(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{r}{h} \]
En substituant les valeurs données :
\[ \tan(\theta) = \frac{1{,}20\,\mathrm{m}}{3{,}00\,\mathrm{m}} = 0{,}4 \]
Étape 4 : Calculer l’angle à l’aide de l’arc tangente
Pour trouver l’angle \(\theta\), nous prenons l’arc tangente (ou la fonction inverse de la tangente) de \(0{,}4\).
\[ \theta = \arctan(0{,}4) \]
En utilisant une calculatrice :
\[ \theta \approx 21{,}8^\circ \]
Étape 5 : Arrondir l’angle à l’unité près
L’angle calculé est d’environ \(21{,}8^\circ\). En l’arrondissant à l’unité près, nous obtenons :
\[ \theta \approx 22^\circ \]
Conclusion
La mesure de l’angle formé par le cône de lumière avec le sol est d’environ \(22^\circ\).