Exercice 3

Tracer un cercle \(C\) de 6 cm de diamètre.

Tracer dans ce cercle un angle au centre de \(60^{\circ}\), qu’on appellera \(\alpha\).

Tracer trois angles inscrits dans ce cercle, \(\beta\), \(\gamma\) et \(\delta\), qui interceptent sur le cercle le même arc que \(\alpha\).

Combien mesure chacun des angles \(\beta\), \(\gamma\) et \(\delta\) ?

Réponse

Les angles inscrits β, γ et δ mesurent chacun 30 °.

Corrigé détaillé

Pour déterminer la mesure des angles inscrits \(\beta\), \(\gamma\) et \(\delta\) qui interceptent le même arc que l’angle au centre \(\alpha\) de \(60^{\circ}\), suivons les étapes suivantes :

1. Comprendre les Angles au Centre et les Angles Inscrits

• Angle au Centre (\(\alpha\)) : C’est un angle dont le sommet est au centre du cercle. La mesure de cet angle est égale à la mesure de l’arc qu’il intercepte.

• Angle Inscrit (\(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\)) : C’est un angle dont le sommet est sur le cercle. La mesure de cet angle est la moitié de la mesure de l’arc qu’il intercepte.

2. Appliquer la Propriété des Angles Inscrits

Puisque les angles \(\beta\), \(\gamma\) et \(\delta\) interceptent le même arc que l’angle au centre \(\alpha\), nous pouvons utiliser la propriété suivante :

\[ \text{Mesure de l'angle inscrit} = \frac{1}{2} \times \text{Mesure de l'angle au centre} \]

3. Calculer la Mesure des Angles Inscrits

Sachant que \(\alpha = 60^{\circ}\), appliquons la formule :

\[ \beta = \gamma = \delta = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ} \]

4. Conclusion

Chaque angle inscrit \(\beta\), \(\gamma\) et \(\delta\) mesure donc :

\[ \beta = \gamma = \delta = 30^{\circ} \]

Ainsi, les trois angles inscrits interceptant le même arc que l’angle au centre de \(60^{\circ}\) mesurent chacun \(30^{\circ}\).