Exercices corrigés sur les angles (avec problèmes) - 3e
Consultez gratuitement des exercices de maths sur les angles (avec des problèmes) de 3e de collège avec les corrigés détaillés en PDF ou en ligne.
Exercice 1
Difficulté : 75/100
Calculez la valeur de l'angle $\alpha$ dans le triangle $XYZ$ en utilisant les données suivantes : $XZ = 10$ cm, $YZ = 8$ cm et $XY = 6$ cm.
Exercice 2
Difficulté : 75/100
Calculez la valeur de l'angle $\beta$ dans le triangle $ABC$ en utilisant les données suivantes : $AC = 15$ cm, $BC = 12$ cm et $AB = 9$ cm.
Exercice 3
Difficulté : 78/100
Un rectangle $EFGH$ a pour côtés $8\,\text{cm}$ et $6\,\text{cm}$. Les points $P, Q, R,$ et $S$ sont positionnés respectivement sur les côtés $EF, FG, GH,$ et $HE$ de façon que $EP = FQ = GR = HS = x \,\text{cm}$.
Trouver la valeur de $x$ qui maximise l'aire du quadrilatère $PQRS$.
Exercice 4
Difficulté : 75/100
Trace une droite $d$. Place un point $P$ situé à 5 cm de $d$. Construis une droite $l$, perpendiculaire à $d$, qui passe par $P$. À partir de $P$, trace une droite $m$ faisant un angle de $72^\circ$ avec $d$. Mesure les six angles formés par ces droites.
Exercice 5
Difficulté : 40/100
Dans un losange ABCD, justifiez que $\angle ABC = 90^\circ$ en utilisant les propriétés des diagonales.
Exercice 6
Difficulté : 40/100
Dans un carré DEFG, démontrez que $\angle DEG = 45^\circ$ en vous appuyant sur les propriétés des diagonales.
Exercice 7
Difficulté : 40/100
Dans un rectangle EFGH, démontrez que $\angle EFG + \angle EHG = 180^\circ$ en utilisant les propriétés des angles intérieurs.
Exercice 8
Difficulté : 40/100
Dans un losange EFGH, démontrez que $\angle EFH = 90^\circ$ en utilisant les caractéristiques des diagonales.
Exercice 9
Difficulté : 45/100
Dans le triangle ci-dessous, détermine si les angles indiqués vérifient la congruence selon les informations fournies. Justifie ta réponse.
Exercice 10
Difficulté : 40/100
Dans un rectangle KLMN, montrez que $\angle KLM = 90^\circ$ en utilisant les propriétés des diagonales.
Exercice 11
Difficulté : 78/100
$p$ et $q$ sont deux droites parallèles coupées en $P$ et $Q$ par une sécante $r$. Les angles formés par cette configuration sont numérotés de 1 à 8.
-
Clara affirme que deux angles alternes-internes sont toujours égaux.
-
Hugo suppose qu'il existe huit angles formés par deux droites parallèles et une sécante.
-
Léa prétend qu'il y a précisément quatre paires d'angles supplémentaires égaux.
-
Emma est persuadée qu'il y a une symétrie dans les relations égales entre ces angles.
-
Julian énonce que ces observations ne sont valides que si les droites $p$ et $q$ restent parallèles.
Qui parmi eux a émis une affirmation correcte ?
Exercice 12
Difficulté : 50/100
Les points $P$, $Q$ et $R$ appartiennent à un cercle de diamètre $PR$. Le quadrilatère $WXYZ$ est un rectangle. Les droites $XQ$ et $ZR$ se croisent en $P$.
Calcule la mesure de l'angle $\beta$.
Exercice 13
Difficulté : 65/100
À bord du bateau Étoile Polaire, les angles suivants sont mesurés pour déterminer la position du navire :
-
Cap Ferré : $30^{\circ}$
-
Île de Lumière : $120^{\circ}$
-
Cap des Brumes : $200^{\circ}$
Utilisez ces données d'angle pour établir les coordonnées précises du navire.
Exercice 14
Difficulté : 40/100
a) Que peux-tu conclure concernant les angles des polygones représentés ci-dessus ?
b) Quelle formule mathématique peut être appliquée pour calculer la somme des angles dans un triangle ?
Exercice 15
Difficulté : 70/100
Exercice : Comment Maxime peut-il déterminer la distance entre lui et une montagne en utilisant une carte, un rapporteur, et des formules de trigonométrie, tout en mesurant des angles à partir de deux points distincts ?
Exercice 16
Difficulté : 40/100
a) Complète le tableau en calculant les valeurs des angles $\alpha$, $\beta$, et $\gamma$ dans chaque triangle suivant les mesures données.\
\
| Triangles | $\alpha$ (°) | $\beta$ (°) | $\gamma$ (°) |\
| :-------: | :-----------: | :-----------: | :------------: |\
| Triangle 1 | | | |\
| Triangle 2 | | | |\
| Triangle 3 | | | |\
| Triangle 4 | | | |\
\
b) Basé sur tes résultats, propose une conjecture sur la somme des angles dans chaque triangle.
Exercice 17
Difficulté : 20/100
Déterminez la somme des angles d'un triangle ABC si les mesures des angles données sont :
-
$ \angle A = 30° $
-
$ \angle B = 60° $
Calculez $ \angle C $.
Exercice 18
Difficulté : 50/100
Les points $A$, $B$ et $C$ sont disposés sur un cercle de centre $O$ et de rayon $r$. Le triangle $ABS$ est isocèle en $A$ avec la hauteur $AH$ perpendiculaire à $BC$. Si $S$ est le point d'intersection des tangentes issues de $B$ et $C$, trouvez la valeur de $∠ASB$.
Exercice 19
Difficulté : 60/100
Pour trouver la hauteur d'un arbre, un chercheur place deux repères sur le sol, $A$ et $B$, distants de 6 mètres. En regardant depuis $A$ et $B$, les angles d'élévation vers le sommet de l'arbre sont respectivement de $30°$ et $45°$. Calculez la hauteur de l'arbre.
Exercice 20
Difficulté : 65/100
Une parcelle de terrain a la forme d'un carré dont chaque côté mesure 3 km. Béatrice commence sa marche à un des coins du carré et parcourt une distance totale de 7 km en longeant les côtés. Quelle est la distance minimale entre sa position actuelle et le coin où elle a commencé ?
Exercice 21
Difficulté : 40/100
Vrai ou faux ?
-
Un triangle avec deux côtés égaux est appelé triangle isocèle.
-
Si deux angles d'un triangle sont égaux, alors le triangle est isocèle.
-
La somme des angles dans un triangle est toujours égale à 180°.
-
Si tous les côtés d'un triangle sont égaux, il est équilatéral.
-
Un triangle rectangle possède un angle de 90°.
-
Dans un triangle équilatéral, tous les angles sont égaux et valent 60°.
-
Un triangle ne peut jamais avoir deux angles de 90°.
Exercice 22
Difficulté : 45/100
Identifie et énumère toutes les correspondances entre les angles homologues dans les paires de triangles représentées.
Exercice 23
Difficulté : 67/100
Exercice 1
Sachant que :
-
$\widehat{DEF} = 40^\circ$
-
$\widehat{EFG} = 110^\circ$
-
$\widehat{GHI} = 30,2^\circ$
Est-ce que les segments $DE$ et $FG$ sont perpendiculaires ? Justifie ta réponse.
Exercice 2
Calcule les valeurs des angles $\widehat{DFG}$ et $\widehat{FDG}$, en utilisant les informations suivantes :
-
Les points $D, F, G,$ et $H$ appartiennent à un cercle de centre $I$,
-
$\widehat{DFH} = 48^
\circ$,
- $\widehat{HGF} = 42,5\^\circ$.
Exercice 3
Utilisant les schémas fournis, détermine les angles $\gamma$ dans chaque situation :
Diagramme 1
-
$XY \parallel WZ$,
-
Le quadrilatère $WXYZ$ est un losange.
$$ \gamma = ? $$
Diagramme 2
-
Les points $P$, $R$, et $Q$ sont colinéaires,
-
$R$ est le centre d'une figure circonscrite.
$$ \gamma = ? $$
Exercice 4
Démontre, à l'aide des données indiquées sur la figure, que le triangle $EFG$ est équilatéral.
Exercice 5
En observant les configurations parmi les figures représentées, indiques quels triangles sont isométriques, donne une preuve justificative stricte.
Exercice 6
Effectue les constructions géométriques suivantes étape par étape :
1) Trace les solides :
a) Une sphère et une demi-sphère,
b) Un cône tronqué,
c) Un cylindre oblique.
2) Évalue quel développement parmi les données correspond à chaque solide construit.
3) Réalise le développement plan d'une pyramide de hauteur $5\, \mathrm{cm}$ avec une base hexagonale de côté $2\, \mathrm{cm}$ de longueur.
Exercice 24
Difficulté : 65/100
Les angles $ ∠ADC $ et $ ∠BDC $ sont-ils complémentaires ?
Exercice 25
Difficulté : 45/100
$MN$ et $PQ$ se croisent au point $R$. \ Est-ce que $MP$ est parallèle à $QR$ ?
Exercice 26
Difficulté : 60/100
Déterminez et décrivez la géométrie de l'ensemble des points équidistants de deux points fixes distincts $A$ et $B$.
Exercice 27
Difficulté : 72/100
Les points $A$, $B$ et $C$ appartiennent à un cercle de diamètre $AC$. $PQRS$ est un parallélogramme dans lequel $PR$ et $QS$ se croisent au point $T$.
Calculez la mesure de l'angle $\alpha$.
Exercice 28
Difficulté : 55/100
Sachant que la droite $l$ est parallèle à $DF$, détermine la mesure de l'angle $\widehat{EDF}$. Justifie chacune de tes étapes.
Exercice 29
Difficulté : 45/100
$P$, $Q$ et $R$ sont des points appartenant à un cercle de centre $D$. Trouve la mesure de l'angle $\widehat{Q P R}$.
Exercice 30
Difficulté : 65/100
$f$ est un rectangle inscrit dans un cercle de diamètre $[DE]$, et $F$ est le centre de ce rectangle.
La droite $t$ est le rayon passant par le centre du cercle et le centre du rectangle.
Détermine la valeur de l'angle $\beta$ formé entre la diagonale du rectangle et un de ses côtés.
Exercice 31
Difficulté : 45/100
« Est-il vrai que les angles internes d'un quadrilatère convexe quelconque totalisent toujours 360 degrés ? »
Exercice 32
Difficulté : 65/100
Un navire se déplace en naviguant d'une île à une autre selon des angles azimuthaux mesurés à partir du Nord géographique.
Les observations indiquent :
-
Île Émeraude : $45^{\circ}$,
-
Île Saphir : $133^{\circ}$,
-
Île Rubis : $270^{\circ}$.
Déterminez la position actuelle du navire à l'aide de ces angles.
Exercice 33
Difficulté : 65/100
Dans un triangle équilatéral $ABC$, où $AB=AC=BC$, les points $M$, $N$, et $P$ se situent respectivement sur $AB$, $AC$, et $BC$, tels que $AM = BN = CP$. Trouvez la somme des angles formés par les segments $MN$, $MP$, et $PN$ au sein du triangle.
Exercice 34
Difficulté : 70/100
Les balances A et B sont en équilibre. Vérifiez si la balance C est aussi en équilibre. Justifiez votre raisonnement.
Exercice 35
Difficulté : 70/100
Si un triangle isocèle a deux angles de base égaux à $60°$, quelle est la mesure du troisième angle de ce triangle ?
Exercice 36
Difficulté : 65/100
Pour chaque figure, les points $M, N, P$ et $Q$ appartiennent au cercle de centre $R$. Calcule la valeur de l'angle $\beta$.
a)
$\beta = \quad?$
b)
$\beta = \quad?$
c)
$\beta = \quad?$
d)
$\beta = \quad?$
Exercice 37
Difficulté : 75/100
Trace une droite $e$. Place un point $R$ situé à 6 cm de $e$. Construis une droite $f$, parallèle à $e$, qui passe par $R$. À partir de $R$, trace une droite $h$ faisant un angle de $45^\circ$ avec $f$. Mesure les six angles formés par ces droites.
Exercice 38
Difficulté : 45/100
Considère un triangle isocèle dont les deux angles à la base mesurent chacun 40°. Calcule le troisième angle du triangle et justifie ta réponse.
Exercice 39
Difficulté : 70/100
Soit un triangle de sommets A, B et C. Si deux côtés du triangle sont égaux, quel type de triangle est-ce ?
Exercice 40
Difficulté : 45/100
Dans le diagramme suivant, identifie les paires d'angles correspondants et complète la table de leur somme. Assure-toi que la somme est correcte.
Exercice 41
Difficulté : 60/100
a) Observe les figures $\mathbf{1}$ et $\mathbf{2}$, où l'angle $\widehat{C A D}$ est un angle inscrit dans le cercle noté $\mathcal{C}$. Quelles sont les propriétés que satisfait un angle inscrit dans un cercle?
b) Dans la figure $\mathbf{4}$, l'angle $\widehat{C A D}$ est décrit comme un angle au centre relatif au cercle mentionné. Quelles sont les propriétés d'un angle au centre dans un cercle?
c) Dans les figures $\mathbf{1}$, $\mathbf{2}$ et $\mathbf{5}$, l'angle $\widehat{C A D}$ subsume l'arc $\widehat{C D}$. Concernant ces figures, identifiez :
-
Les angles au centre qui englobent l'arc $\widehat{F G}$?
-
Les angles inscrits qui englobent l'arc $\widehat{H J}$?
Exercice 42
Difficulté : 40/100
Dans un triangle $ABC$, on connaît les angles suivants : $\angle A = 45^\circ$ et $\angle B = 75^\circ$. Calcule la valeur de $\angle C$.
Exercice 43
Difficulté : 60/100
Déterminez la valeur de l'angle manquant dans un triangle faisant usage de la règle de la somme des angles.
Exercice 44
Difficulté : 60/100
Exercice:
Calculez la valeur des angles demandés pour chaque figure.
a) Si $\beta = 52^{\circ}$, calculez l'angle suivant :
$$ \widehat{DEG} = ? $$
b) Si $\theta = 41^{\circ}$ et $UV = UW = UX$, calculez les angles suivants :
$$ \widehat{UVW} = ? $$
$$ \widehat{UVX} = ? $$
c) Si $\eta = 62^{\circ}$ et $JKLM$ est un parallélogramme, calculez les angles suivants :
$$ \widehat{LJK} = ? $$
$$ \widehat{JKL} = ? $$
d) Si $\phi = 28^{\circ}$ et $\delta = 14^{\circ}$, avec $TU$ et $VW$ comme hauteurs dans le triangle $XYZ$, calculez les angles suivants :
$$ \widehat{TVU} = ? $$
$$ \widehat{XTY} = ? $$
$$ \widehat{TXY} = ? $$
e) Pour le triangle $OPQ$ rectangle en $O$ et isocèle, où $OI$ est une médiane, calculez les valeurs suivantes :
$$ \widehat{OPQ} = ? $$
$$ \zeta = ? $$
Exercice 45
Difficulté : 45/100
Déterminez les mesures angulaires demandées pour chaque situation géométrique fournie :
a) $b = 65^\circ$
Dans la figure ci-dessous, trouvez :
$\widehat{X Y Z} = ?$
b) $\alpha = 42^\circ$
Dans le triangle tel que $U V = U W = U X$, calculez :
$\widehat{V U W} = ?$
$\widehat{V X U} = ?$
c) $\theta = 51^\circ$ et $P Q R S$ est un losange.
Dans ce losange, indiquez :
$\widehat{S P Q} = ?$
$\widehat{P Q R} = ?$
d) $\beta = 34^\circ$, $c = 22^\circ$.
Dans le triangle $U V W$, où $V X$ et $W Y$ sont des médianes, trouvez :
$\widehat{V W X} = ?$
$\widehat{V U W} = ?$
$\widehat{U V W} = ?$
e) Le triangle $Q R S$ est rectangle en $Q$ et isocèle avec $Q P$ comme médiane.
De plus, $Q S T U$ est un trapèze. Calculez :
$\widehat{R T S} = ?$
$\widehat{R S T} = ?$
$\widehat{U Q S} = ?$
$\widehat{Q U T} = ?$
$$ \widehat{Q R S} = ? $$
Exercice 46
Difficulté : 50/100
Sachant que la tour Eiffel mesure $330 \; \mathrm{m}$ de haut, calculez approximativement l'angle de vision qu'un observateur aurait en la regardant à une distance de $500 \; \mathrm{m}$.
Exercice 47
Difficulté : 65/100
À bord du navire Lune Marinière, les angles au compas suivants sont enregistrés pour localiser sa position :
-
Île de Gloria : $45^{\circ}$
-
Pointe des Aigles : $135^{\circ}$
-
Récifs des Étoiles : $225^{\circ}$
Utilisez ces valeurs angulaires pour calculer les coordonnées exactes de l'emplacement du bateau.
Exercice 48
Difficulté : 78/100
$a$ et $b$ sont deux droites perpendiculaires croisées en $M$ et $N$ par une sécante $l$. Les angles formés par cette configuration sont numérotés de 1 à 8.
-
Sophie déclare que deux angles correspondants formés par cette configuration sont toujours égaux.
-
Marc remarque qu'il y a exactement huit angles dans cette situation.
-
Lily estime qu'il y a quatre paires d'angles opposés par le sommet égaux deux à deux.
-
Romain pense que les relations d'égalité entre ces angles sont symétriques.
-
Anissa affirme que ces relations dépendent de la perpendicularité de $a$ et $b$.
Qui d'entre eux a fait une observation correcte ?
Exercice 49
Difficulté : 50/100
Dans un triangle rectangle, l'un des angles aigus est le triple de l'autre angle aigu. Déterminez les mesures de chacun des trois angles.
Exercice 50
Difficulté : 50/100
Un quadrilatère a les côtés de longueurs 5 cm, 8 cm, 11 cm, et sa dernière longueur est inconnue notée comme $ x $. Quelles sont les restrictions sur $ x $ pour que le quadrilatère soit possible selon l'inégalité triangulaire généralisée ? Justifie ta réponse.
Exercice 51
Difficulté : 50/100
Une balance symétrique est dite en équilibre si les moments des poids de chaque côté du pivot sont égaux. Considérez les balances ci-dessous, sont-elles en équilibre ?
- Situation 1 :
- Situation 2 :
Justifiez vos réponses en calculant les moments.
Exercice 52
Difficulté : 50/100
Dans le triangle rectangle $ABC$, l'angle $\theta$ est donné et $\cos(\theta) = \frac{3}{5}$. Trouvez $\sin(\theta)$ et $\tan(\theta)$.
Exercice 53
Difficulté : 45/100
Calculez $ x $.
On sait que les droites $ d $ et $ d' $ sont parallèles entre elles.
Exercice 54
Difficulté : 45/100
Établissez et listez les corrélations entre les angles correspondants des deux figures géométriques similaires illustrées.
Exercice 55
Difficulté : 45/100
Identifie et liste toutes les congruences angulaires dans chaque paire de cercles ayant des segments tangents communs.
Exercice 56
Difficulté : 40/100
Déterminez, si possible, les mesures manquantes des angles pour chaque triangle donné :
a) Triangle dont les angles donnés sont $ \angle A = 30^\circ $ et $ \angle B = 60^\circ $.
b) Triangle où $ AB = 9 \, \text{cm} $ avec un angle droit.
c) Triangle équilatéral, où $ \angle A = \angle B = \angle C $.
Exercice 57
Difficulté : 56/100
On dispose six allumettes de longueurs égales formant une hexagone régulier.
Quelle est la mesure de l'angle $ \beta $ formé par deux côtés adjacents de cet hexagone?
Exercice 58
Difficulté : 45/100
Construit un cercle de centre $O$ et de rayon $r$. Trace deux cordes $[AB]$ et $[CD]$ s'intersectant en un point $P$. Détermine si les segments $[PA]$, $[PB]$, $[PC]$ et $[PD]$ satisfont la relation harmonique $PA \cdot PB = PC \cdot PD$. Justifie ta réponse.
Exercice 59
Difficulté : 40/100
Pour calculer la hauteur d'une tour, on utilise un dispositif permettant de mesurer les angles. À une distance de 50 m de la base de la tour, un angle d'élévation de 35° est mesuré jusqu'au sommet. Plus loin, à 100 m de la base, un angle d'élévation de 20° est observé.
Calculez la hauteur de la tour.
Exercice 60
Difficulté : 45/100
Déterminez $ x $.
On sait que $ AB \perp CD $.
Exercice 61
Difficulté : 50/100
Les points $A$, $B$ et $C$ appartiennent à un cercle avec $AC$ comme diamètre. Un rectangle $MNOP$ est inscrit dans le cercle, et $PA$ coupe $NC$ en $Q$.
Calculez la mesure de l'angle $ heta$.
Exercice 62
Difficulté : 78/100
$a$ et $b$ sont deux droites perpendiculaires coupées en $Q$ par une sécante $s$. Les mesures des angles formés par cette figure géométrique sont numérotées de 1 à 4.
-
Pauline affirme que les angles opposés par le sommet dans cette configuration sont toujours égaux.
-
Thomas suppose que l'un des angles formés est droit lorsque cette configuration est respectée.
-
Lucie prétend qu'il y a une valeur fixe de l'angle $1$ si $a$ et $b$ gardent cet arrangement.
-
Élodie indique qu'il y a des relations de complémentarité parmi les paires d'angles formées.
-
Cédric énonce que ces observations ne sont valables que si les droites $a$ et $b$ sont strictement perpendiculaires entre elles.
Qui parmi eux a émis une affirmation correcte ?
Exercice 63
Difficulté : 45/100
Les segments $DE$ et $FG$ sont-ils perpendiculaires ?
-
Les droites $IJ$ et $KL$ sont sécantes.
-
Les points $M$, $N$ et $O$ sont alignés.
Exercice 64
Difficulté : 45/100
a) Pour chaque figure présentée, les points $M$, $N$, $P$ et $Q$ (particulièrement dans la troisième figure) se situent sur la circonférence d'un cercle de centre $C$. Trouvez l'angle $\theta$ dans chaque cas donné.
b) Identifiez tous les angles identiques dans les figures esquissées dans l'exercice HS21 b).
Exercice 65
Difficulté : 45/100
Identifie et calcule les valeurs des angles manquants dans chaque triangle isocèle fourni.