Exercice 73

Considérons :

• Un prisme droit à base carrée de côté \(a\) et de hauteur \(h\).
• Un prisme droit à base rectangulaire de dimensions \(a\) et \(\frac{a}{2}\), et de hauteur \(h\).
• Un cylindre de rayon \(a\) et de hauteur \(h\).

Classez ces corps en ordre croissant de volume.

Réponse

L’ordre croissant des volumes est : prisme rectangulaire (a²h/2) < prisme carré (a²h) < cylindre (πa²h).

Corrigé détaillé

Pour résoudre ce problème, nous allons calculer le volume de chacun des trois corps de la manière suivante :

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1. Prisme droit à base carrée

• Base : un carré de côté \(a\).
  L’aire de la base est :
  \[ A_{\text{carré}} = a \times a = a^2. \]

• Hauteur : \(h\).

• Volume :
  \[ V_{\text{carré}} = \text{Aire de la base} \times h = a^2 \times h = a^2 h. \]

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2. Prisme droit à base rectangulaire

• Base : un rectangle de dimensions \(a\) et \(\frac{a}{2}\).
  L’aire de la base est :
  \[ A_{\text{rect}} = a \times \frac{a}{2} = \frac{a^2}{2}. \]

• Hauteur : \(h\).

• Volume :
  \[ V_{\text{rect}} = \text{Aire de la base} \times h = \frac{a^2}{2} \times h = \frac{a^2 h}{2}. \]

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3. Cylindre

• Base : cercle de rayon \(a\).
  L’aire de la base est :
  \[ A_{\text{cercle}} = \pi a^2. \]

• Hauteur : \(h\).

• Volume :
  \[ V_{\text{cylindre}} = \text{Aire de la base} \times h = \pi a^2 \times h = \pi a^2 h. \]

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Comparaison des volumes

Nous avons :

1. Prisme à base rectangulaire :
   \[ V_{\text{rect}} = \frac{a^2 h}{2}. \]

2. Prisme à base carrée :
   \[ V_{\text{carré}} = a^2 h. \]

3. Cylindre :
   \[ V_{\text{cylindre}} = \pi a^2 h. \]

On remarque que chaque volume contient le facteur \(a^2h\), donc la comparaison dépend des coefficients numériques :

• Pour le prisme rectangulaire, le coefficient est \(\frac{1}{2}\).
• Pour le prisme carré, le coefficient est \(1\).
• Pour le cylindre, le coefficient est \(\pi\) (avec \(\pi \approx 3.14\)).

En ordre croissant, on a :

\[ \frac{1}{2} < 1 < \pi. \]

Ainsi, les volumes se classent de la manière suivante :

1. Prisme droit à base rectangulaire \(\left(V = \frac{a^2 h}{2}\right)\) : plus petit,
2. Prisme droit à base carrée \(\left(V = a^2 h\right)\) : de volume moyen,
3. Cylindre \(\left(V = \pi a^2 h\right)\) : le plus grand.

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Conclusion

L’ordre croissant des volumes des corps est :

\[ \boxed{\text{Prisme rectangulaire} < \text{Prisme carré} < \text{Cylindre}} \]

Cette démarche détaillée permet de comprendre étape par étape comment obtenir la solution.