Une citerne cylindrique a une capacité de \(10\,000\) litres lorsqu’elle est pleine et une hauteur de \(1,2\) m. Quel est le diamètre de sa base ?
Le diamètre de la base de la citerne est d’environ 3,26 m.
Nous devons trouver le diamètre de la base d’une citerne cylindrique connaissant sa capacité et sa hauteur. Voici les étapes détaillées pour résoudre cet exercice.
La formule du volume \(V\) d’un cylindre est donnée par : \[
V = \pi r^2 h
\] où
\(r\) est le rayon de la base et
\(h\) est la hauteur du cylindre.
La capacité donnée est de \(10\,000\) litres. Pour utiliser la formule, il faut convertir les litres en mètres cubes sachant que : \[ 1 \text{ litre} = 0,001 \text{ m}^3 \] ainsi : \[ 10\,000 \text{ litres} = 10\,000 \times 0,001 = 10 \text{ m}^3. \]
Nous connaissons :
- \(V = 10 \text{ m}^3\) - \(h = 1,2 \text{ m}\)
Nous substituons ces valeurs dans la formule du volume : \[ 10 = \pi r^2 \times 1,2. \]
Pour isoler \(r^2\), on divise les deux côtés de l’équation par \(1,2 \pi\) : \[ r^2 = \frac{10}{1,2 \pi}. \] Ensuite, on prend la racine carrée des deux côtés pour obtenir \(r\) : \[ r = \sqrt{\frac{10}{1,2 \pi}}. \]
Calculons d’abord le dénominateur : \[ 1,2 \pi \approx 1,2 \times 3,1416 \approx 3,7699. \] Ainsi, \[ r^2 \approx \frac{10}{3,7699} \approx 2,653. \] Puis, \[ r \approx \sqrt{2,653} \approx 1,63 \text{ m}. \]
Le diamètre \(d\) est le double du rayon : \[ d = 2r \approx 2 \times 1,63 \approx 3,26 \text{ m}. \]
Le diamètre de la base de la citerne est donc d’environ : \[ \boxed{3,26 \text{ m}} \]