Exercice 69

Exercice

Déterminez le rayon d’une boîte cylindrique de hauteur \(18\,\text{cm}\) afin que son volume soit de \(1\,\text{l}\) (où \(1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3\)).

Réponse

Le rayon de la boîte cylindrique est environ 4,2 cm.

Corrigé détaillé

Nous cherchons le rayon \(r\) d’une boîte cylindrique qui possède une hauteur \(h = 18\,\text{cm}\) et un volume \(V = 1\,\text{l}\). Rappelons que
\[ 1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3. \]

Étape 1 : Expression du volume d’un cylindre

Le volume \(V\) d’un cylindre se calcule avec la formule : \[ V = \pi r^2 h. \]

Étape 2 : Remplacer les valeurs connues

Nous avons \(V = 1000\,\text{cm}^3\) et \(h = 18\,\text{cm}\). En remplaçant dans la formule : \[ 1000 = \pi r^2 \times 18. \]

Étape 3 : Isoler \(r^2\)

Pour isoler \(r^2\), on divise les deux côtés de l’équation par \(18\pi\) : \[ r^2 = \frac{1000}{18\pi}. \]

Étape 4 : Calculer le rayon \(r\)

Pour obtenir \(r\), on prend la racine carrée de l’expression : \[ r = \sqrt{\frac{1000}{18\pi}}. \]

Étape 5 : Calcul numérique (approximatif)

1. Calculons \(18\pi\) en utilisant \(\pi \approx 3.1416\) : \[ 18\pi \approx 18 \times 3.1416 = 56.5488. \]
2. La fraction devient alors : \[ \frac{1000}{56.5488} \approx 17.67. \]
3. Enfin, la racine carrée : \[ r \approx \sqrt{17.67} \approx 4.20\,\text{cm}. \]

Conclusion

Le rayon de la boîte cylindrique doit être d’environ \[ \boxed{4.2\,\text{cm}}. \]