Exercice
Déterminez le volume d’un cylindre dont le diamètre de la base est de \(2 \, \mathrm{m}\) et la surface totale est de \(69,08 \, \mathrm{m}^2\).
Volume = 10π m³ (environ 31,4 m³).
Nous avons un cylindre dont le diamètre de la base est \(2 \, \mathrm{m}\). Dans un premier temps, nous trouvons le rayon, puis nous utiliserons la formule de la surface totale pour déterminer la hauteur, et enfin nous calculerons le volume.
Le rayon \(r\) est la moitié du diamètre. Ainsi,
\[ r = \frac{2 \, \mathrm{m}}{2} = 1 \, \mathrm{m} \]
La formule de la surface totale \(S_{\text{totale}}\) d’un cylindre est donnée par :
\[ S_{\text{totale}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h \]
Ici, la surface totale est \(69,08 \, \mathrm{m}^2\) et \(r = 1 \, \mathrm{m}\). On remplace ces valeurs dans la formule :
\[ 69,08 = 2\pi (1)^2 + 2\pi (1) h \]
Cela se simplifie en :
\[ 69,08 = 2\pi + 2\pi h \]
Pour trouver \(h\), isolons-le :
\[ 2\pi h = 69,08 - 2\pi \]
Divisons ensuite par \(2\pi\) :
\[ h = \frac{69,08 - 2\pi}{2\pi} \]
Calculons numériquement en utilisant \(\pi \approx 3,14\) :
\[ 2\pi \approx 6,28 \]
Alors :
\[ h = \frac{69,08 - 6,28}{6,28} = \frac{62,80}{6,28} = 10 \]
La hauteur du cylindre est donc \(h = 10 \, \mathrm{m}\).
Le volume \(V\) d’un cylindre se calcule avec la formule :
\[ V = \pi r^2 h \]
Avec \(r = 1 \, \mathrm{m}\) et \(h = 10 \, \mathrm{m}\) :
\[ V = \pi (1)^2 \times 10 = 10\pi \, \mathrm{m}^3 \]
Le volume du cylindre est donc :
\[ \boxed{10\pi \, \mathrm{m}^3} \]
En valeur approchée, cela donne :
\[ 10\pi \approx 10 \times 3,14 = 31,4 \, \mathrm{m}^3 \]
Cette solution détaillée permet de comprendre chaque étape du problème : le calcul du rayon, l’utilisation de la formule de la surface totale pour trouver la hauteur, puis le calcul final du volume du cylindre.