Exercice
Calculer le volume d’un prisme droit à base rectangulaire. Ce prisme a une aire totale de \(1,9 \, \mathrm{m}^2\) et les dimensions du rectangle de base sont \(10 \, \mathrm{dm}\) et \(3 \, \mathrm{dm}\).
Le volume du prisme est 0,15 m³.
Nous allons déterminer le volume du prisme en suivant ces étapes :
Les dimensions du rectangle de la base sont données en décimètres. Nous pouvons les convertir en mètres pour rester cohérents avec l’unité de l’aire totale.
L’aire de la base, qui est un rectangle, est donc : \[ A_{\text{base}} = \text{longueur} \times \text{largeur} = 1 \, \mathrm{m} \times 0,3 \, \mathrm{m} = 0,3 \, \mathrm{m}^2. \]
Pour un prisme droit à base rectangulaire, l’aire totale \(S\) se compose de l’aire des deux bases et de l’aire latérale. L’aire latérale peut s’exprimer en fonction du périmètre de la base \(P\) et de la hauteur \(h\) : \[ S = 2 \cdot A_{\text{base}} + P \times h. \]
Le périmètre de la base est : \[ P = 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) = 2 \times (1 + 0,3) = 2 \times 1,3 = 2,6 \, \mathrm{m}. \]
On a donc l’équation : \[ 1,9 \, \mathrm{m}^2 = 2 \times 0,3 \, \mathrm{m}^2 + 2,6 \, \mathrm{m} \times h. \]
Calculons d’abord la somme des aires des deux bases : \[ 2 \times 0,3 \, \mathrm{m}^2 = 0,6 \, \mathrm{m}^2. \]
L’équation devient alors : \[ 1,9 = 0,6 + 2,6h. \]
Isolons \(h\) en soustrayant \(0,6\) de chaque côté : \[ 2,6h = 1,9 - 0,6 = 1,3. \]
Puis, divisons par \(2,6\) pour trouver \(h\) : \[ h = \frac{1,3}{2,6} = 0,5 \, \mathrm{m}. \]
Le volume \(V\) d’un prisme droit est donné par : \[ V = A_{\text{base}} \times h. \]
Nous avons : \[ V = 0,3 \, \mathrm{m}^2 \times 0,5 \, \mathrm{m} = 0,15 \, \mathrm{m}^3. \]
Le volume du prisme droit à base rectangulaire est donc : \[ \boxed{0,15 \, \mathrm{m}^3}. \]