Exercice
Déterminez le volume d’un prisme droit à base carrée, dont l’aire totale est de \(170\,\mathrm{dm}^2\). La longueur d’un côté du carré est de \(5\,\mathrm{dm}\).
Le volume du prisme est de 150 dm³.
Voici la correction détaillée de l’exercice :
Données :
Étape 1 : Calcul de l’aire de la base
La base du prisme est un carré dont l’aire est donnée par la formule :
\[ A_{\text{base}} = l^2 \]
Ici, \(l = 5\,\mathrm{dm}\) donc :
\[ A_{\text{base}} = 5^2 = 25\,\mathrm{dm}^2 \]
Étape 2 : Aire totale d’un prisme droit
L’aire totale d’un prisme droit se compose de l’aire des deux bases et de l’aire latérale. La formule est :
\[ A_{\text{totale}} = 2 \times A_{\text{base}} + A_{\text{latérale}} \]
Pour un prisme droit dont la base est un carré, l’aire latérale est donnée par le périmètre de la base multiplié par la hauteur \(h\) :
\[ A_{\text{latérale}} = P_{\text{base}} \times h \]
Le périmètre du carré est :
\[ P_{\text{base}} = 4 \times l = 4 \times 5 = 20\,\mathrm{dm} \]
Étape 3 : Mise en place de l’équation
Sachant que l’aire totale est \(170\,\mathrm{dm}^2\), nous pouvons écrire :
\[ 170 = 2 \times 25 + 20h \]
Calculons \(2 \times 25\) :
\[ 170 = 50 + 20h \]
Pour trouver la hauteur \(h\), isolons \(20h\) :
\[ 20h = 170 - 50 = 120 \]
Puis divisons par 20 :
\[ h = \frac{120}{20} = 6\,\mathrm{dm} \]
Étape 4 : Calcul du volume
Le volume \(V\) d’un prisme droit se calcule par :
\[ V = A_{\text{base}} \times h \]
Nous avons \(A_{\text{base}} = 25\,\mathrm{dm}^2\) et \(h = 6\,\mathrm{dm}\) :
\[ V = 25 \times 6 = 150\,\mathrm{dm}^3 \]
Conclusion :
Le volume du prisme droit est donc :
\[ \boxed{150\,\mathrm{dm}^3} \]
Cette solution montre comment, en calculant d’abord l’aire de la base, puis en utilisant la relation avec l’aire latérale et l’aire totale, on détermine la hauteur du prisme. Enfin, en multipliant l’aire de la base par la hauteur, on obtient le volume.