Calculer l’aire totale d’un cylindre dont le diamètre est de 6 m et le volume est de 282,6 m³.
L’aire totale du cylindre est 78π m², soit environ 244,92 m².
Nous voulons calculer l’aire totale \(S_{\text{totale}}\) d’un cylindre dont le diamètre est de 6 m et dont le volume est de 282,6 m³. Suivons les étapes :
Le diamètre est de 6 m, donc le rayon \(r\) se trouve en divisant le diamètre par 2 :
\[ r = \frac{6}{2} = 3\ \text{m}. \]
Le volume \(V\) d’un cylindre est donné par la formule :
\[ V = \pi r^2 h. \]
Nous connaissons \(V\) et \(r\), donc nous pouvons isoler la hauteur \(h\) :
\[ h = \frac{V}{\pi r^2}. \]
En remplaçant les valeurs :
\[ h = \frac{282,6}{\pi \times 3^2} = \frac{282,6}{\pi \times 9}. \]
Si l’on prend \(\pi \approx 3,14\), alors :
\[ h = \frac{282,6}{9 \times 3,14} = \frac{282,6}{28,26} \approx 10\ \text{m}. \]
L’aire totale \(S_{\text{totale}}\) d’un cylindre est composée de l’aire des deux bases plus l’aire latérale. On a :
\[ S_{\text{totale}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h. \]
Nous connaissons \(r = 3\ \text{m}\) et \(h = 10\ \text{m}\). Calculons d’abord l’aire des deux bases :
\[ 2\pi r^2 = 2\pi (3^2) = 2\pi (9) = 18\pi. \]
Ensuite, calculons l’aire latérale :
\[ 2\pi r h = 2\pi (3)(10) = 60\pi. \]
En additionnant ces deux résultats :
\[ S_{\text{totale}} = 18\pi + 60\pi = 78\pi. \]
L’aire totale du cylindre est donc :
\[ S_{\text{totale}} = 78\pi \ \text{m}^2. \]
En approchant avec \(\pi \approx 3,14\) :
\[ S_{\text{totale}} \approx 78 \times 3,14 \approx 244,92\ \text{m}^2. \]
La solution complète est :
Ainsi, l’aire totale du cylindre est \(78\pi\) m², soit environ 244,92 m².