Calculer l’aire totale d’un prisme droit à base carrée de volume \(36\,\mathrm{cm^3}\), sachant que le côté du carré mesure \(3\,\mathrm{cm}\).
L’aire totale du prisme est de 66 cm².
Nous devons calculer l’aire totale d’un prisme droit à base carrée en suivant les étapes ci-dessous :
Calcul du volume et de la hauteur du prisme
On nous donne le volume du prisme : \[ V = 36\,\mathrm{cm^3} \] La base est un carré dont le côté mesure \(3\,\mathrm{cm}\). L’aire de la base est donc : \[ \text{Aire de la base} = 3 \times 3 = 9\,\mathrm{cm^2} \] Comme le volume d’un prisme droit se calcule par : \[ V = \text{Aire de la base} \times h, \] on peut trouver la hauteur \(h\) en isolant \(h\) dans l’équation : \[ h = \frac{V}{\text{Aire de la base}} = \frac{36}{9} = 4\,\mathrm{cm}. \]
Calcul de l’aire totale du prisme
L’aire totale d’un prisme droit inclut l’aire des deux bases ainsi que l’aire de la surface latérale.
Aire des deux bases :
Chaque base a une aire de \(9\,\mathrm{cm^2}\), donc : \[
\text{Aire des deux bases} = 2 \times 9 = 18\,\mathrm{cm^2}.
\]
Aire de la surface latérale :
La surface latérale est constituée de 4 rectangles. Pour chaque
rectangle, la longueur est égale à la hauteur du prisme (\(4\,\mathrm{cm}\)) et la largeur est la
longueur d’un côté du carré (\(3\,\mathrm{cm}\)).
L’aire d’un rectangle est : \[
\text{Aire d’un rectangle} = 3 \times 4 = 12\,\mathrm{cm^2}.
\] Comme il y a 4 rectangles : \[
\text{Aire totale latérale} = 4 \times 12 = 48\,\mathrm{cm^2}.
\]
Calcul final de l’aire totale
La somme des aires des deux bases et de la surface latérale donne : \[ \text{Aire totale} = 18 + 48 = 66\,\mathrm{cm^2}. \]
Ainsi, l’aire totale du prisme droit est de \(\boxed{66\,\mathrm{cm^2}}\).