Exercice
Soit un récipient cylindrique de diamètre \(15\text{ cm}\) et de hauteur \(20\text{ cm}\) rempli d’eau. L’eau est versée dans une boîte parallélépipédique dont la base mesure \(27\text{ cm} \times 23\text{ cm}\). Déterminez la hauteur de l’eau dans la boîte.
La hauteur de l’eau dans la boîte est d’environ 5,69 cm.
Nous devons trouver la hauteur \(h\) de l’eau dans la boîte lorsque l’eau provenant du récipient cylindrique est versée dans celle-ci.
Le récipient est un cylindre rempli d’eau. Pour calculer le volume d’un cylindre, on utilise la formule :
\[ V = \pi r^2 h \]
\[ r = \frac{15}{2} = 7,5\,\text{cm} \]
Ainsi, le volume d’eau est :
\[ V = \pi \times (7,5)^2 \times 20 = \pi \times 56,25 \times 20 = 1125\pi \, \text{cm}^3 \]
La boîte a une base de dimensions \(27\,\text{cm} \times 23\,\text{cm}\). L’aire de la base est :
\[ \text{Aire} = 27 \times 23 = 621 \, \text{cm}^2 \]
Lorsque l’eau est versée dans la boîte, le volume d’eau ne change pas. La relation entre le volume, l’aire de la base et la hauteur de l’eau dans la boîte est :
\[ V = \text{aire de la base} \times \text{hauteur de l'eau} \]
Dénotons la hauteur de l’eau dans la boîte par \(h\). On a alors :
\[ 1125\pi = 621 \times h \]
Pour trouver \(h\), il suffit de résoudre l’équation :
\[ h = \frac{1125\pi}{621} \]
En calculant numériquement :
\[ h \approx \frac{1125 \times 3,1416}{621} \approx \frac{3534,3}{621} \approx 5,69\,\text{cm} \]
La hauteur de l’eau dans la boîte parallélépipédique est donc :
\[ \boxed{h = \frac{1125\pi}{621} \, \text{cm} \approx 5,69\,\text{cm}} \]