Exercice 54

Soit l’exercice suivant :

À l’Escalade, on souhaite préparer une soupe aux légumes pour 120 personnes.

On prévoit \(2\,\text{dl}\) de soupe par personne. On dispose de trois casseroles cylindriques aux dimensions suivantes :

• Casserole 1 : diamètre \(24\,\text{cm}\) et hauteur \(28\,\text{cm}\).
• Casserole 2 : diamètre \(28\,\text{cm}\) et hauteur \(40\,\text{cm}\).
• Casserole 3 : diamètre \(30\,\text{cm}\) et hauteur \(50\,\text{cm}\).

Chaque casserole est remplie jusqu’à \(10\,\text{cm}\) du bord.

La question est de déterminer si la quantité de soupe préparée sera suffisante ou non.

Réponse

La soupe préparée (environ 54,9 L) dépasse largement les 24 L requis, donc il y aura assez de soupe pour 120 personnes.

Corrigé détaillé

Nous allons vérifier si la quantité de soupe préparée est suffisante pour 120 personnes en procédant par étapes.

---

1. Calcul de la quantité de soupe nécessaire

Chaque personne reçoit \(2\,\text{dl}\) de soupe. Pour 120 personnes, la quantité totale de soupe est :

\[ 120 \times 2\,\text{dl} = 240\,\text{dl} \]

Sachant que \(10\,\text{dl} = 1\,\text{L}\), cela correspond à :

\[ 240\,\text{dl} = 24\,\text{L} \]

---

2. Calcul du volume utilisable dans chaque casserole

Les casseroles sont cylindriques et sont remplies jusqu’à \(10\,\text{cm}\) du bord. Cela signifie que la hauteur effective de remplissage de chaque casserole est la hauteur totale diminuée de \(10\,\text{cm}\).

Casserole 1

• Dimensions : diamètre \(24\,\text{cm}\) et hauteur \(28\,\text{cm}\).
  
• Rayon : \(r = \frac{24}{2} = 12\,\text{cm}\).
  
• Hauteur effective : \(h_{\text{eff}} = 28 - 10 = 18\,\text{cm}\).

Le volume de la casserole se calcule avec la formule du volume d’un cylindre :

\[ V_1 = \pi \times r^2 \times h_{\text{eff}} = \pi \times (12)^2 \times 18 = \pi \times 144 \times 18 = 2592\pi\,\text{cm}^3. \]

Casserole 2

• Dimensions : diamètre \(28\,\text{cm}\) et hauteur \(40\,\text{cm}\).
  
• Rayon : \(r = \frac{28}{2} = 14\,\text{cm}\).
  
• Hauteur effective : \(h_{\text{eff}} = 40 - 10 = 30\,\text{cm}\).

Le volume est :

\[ V_2 = \pi \times (14)^2 \times 30 = \pi \times 196 \times 30 = 5880\pi\,\text{cm}^3. \]

Casserole 3

• Dimensions : diamètre \(30\,\text{cm}\) et hauteur \(50\,\text{cm}\).
  
• Rayon : \(r = \frac{30}{2} = 15\,\text{cm}\).
  
• Hauteur effective : \(h_{\text{eff}} = 50 - 10 = 40\,\text{cm}\).

Le volume est :

\[ V_3 = \pi \times (15)^2 \times 40 = \pi \times 225 \times 40 = 9000\pi\,\text{cm}^3. \]

---

3. Volume total de soupe préparée

On additionne ensuite les volumes des trois casseroles :

\[ V_{\text{total}} = V_1 + V_2 + V_3 = 2592\pi + 5880\pi + 9000\pi = (2592 + 5880 + 9000)\pi = 17472\pi\,\text{cm}^3. \]

---

4. Conversion du volume total en litres

Sachant que \(1\,\text{L} = 1000\,\text{cm}^3\), on convertit le volume en litres :

\[ V_{\text{total}} \approx \frac{17472\pi}{1000}\,\text{L}. \]

Utilisons la valeur approchée \(\pi \approx 3,14\) :

\[ V_{\text{total}} \approx \frac{17472 \times 3,14}{1000} \approx \frac{54889,68}{1000} \approx 54,89\,\text{L}. \]

---

5. Comparaison avec la quantité nécessaire

• Volume de soupe préparé dans les casseroles : environ \(54,89\,\text{L}\).
• Quantité de soupe nécessaire : \(24\,\text{L}\).

Nous constatons que :

\[ 54,89\,\text{L} > 24\,\text{L}. \]

---

Conclusion

La quantité de soupe préparée est d’environ \(54,9\,\text{L}\), ce qui est largement supérieur aux \(24\,\text{L}\) requis pour 120 personnes.

Donc, la quantité de soupe préparée sera suffisante.