Exercice
Un écrou carré de \(32\,\text{mm}\) de côté et \(18\,\text{mm}\) d’épaisseur est percé d’un trou de \(14\,\text{mm}\) de diamètre. Calculer le volume de l’écrou.
Le volume de l’écrou est de 18432 – 882π mm³.
Nous allons calculer le volume de l’écrou en deux étapes :
L’écrou est de forme cubique étirée (parallélépipède) avec une base carrée dont le côté mesure \(32\,\text{mm}\) et une épaisseur de \(18\,\text{mm}\).
Le volume \(V_{\text{parallelepipède}}\) se calcule par la formule : \[ V_{\text{parallelepipède}} = (\text{côté})^2 \times \text{épaisseur} \] En substituant les valeurs : \[ V_{\text{parallelepipède}} = 32^2 \times 18 \, \text{mm}^3 \] Calculons \(32^2\) : \[ 32^2 = 1024 \] Donc : \[ V_{\text{parallelepipède}} = 1024 \times 18 = 18432\, \text{mm}^3 \]
Le trou est cylindrique et est percé à travers l’écrou. On connaît le diamètre du cylindre qui est \(14\,\text{mm}\). Le rayon \(r\) est la moitié du diamètre : \[ r = \frac{14}{2} = 7\,\text{mm} \] L’épaisseur du cylindre est la même que celle de l’écrou, soit \(18\,\text{mm}\).
Le volume \(V_{\text{cylindre}}\) se calcule avec la formule : \[ V_{\text{cylindre}} = \pi \, r^2 \times \text{hauteur} \] Substituons les valeurs : \[ V_{\text{cylindre}} = \pi \times 7^2 \times 18 \] Calculons \(7^2\) : \[ 7^2 = 49 \] Alors : \[ V_{\text{cylindre}} = \pi \times 49 \times 18 = 882\pi\, \text{mm}^3 \]
Pour obtenir le volume de l’écrou, on soustrait le volume du cylindre (trou) du volume du parallélépipède : \[ V_{\text{écrou}} = V_{\text{parallelepipède}} - V_{\text{cylindre}} \] En remplaçant les résultats obtenus : \[ V_{\text{écrou}} = 18432\, \text{mm}^3 - 882\pi\, \text{mm}^3 \]
Le volume de l’écrou est donc : \[ \boxed{18432 - 882\pi \, \text{mm}^3} \]