Exercice
Soit un jardin rectangulaire de dimensions \(8\,\text{m} \times 6\,\text{m}\). La propriétaire souhaite entourer ce jardin d’une plate-bande de \(20\,\text{cm}\) de largeur sur trois côtés (c’est-à-dire, sauf sur l’une des longueurs). Sur cette plate-bande, une couche de terreau d’une épaisseur de \(5\,\text{cm}\) sera appliquée.
Calculer le volume de terreau nécessaire.
Le volume de terreau nécessaire est de 0,20 m³.
Nous allons déterminer la quantité de terreau nécessaire pour recouvrir la plate-bande qui entoure le jardin sur trois côtés d’une largeur de \(20\,\text{cm}\) et avec une épaisseur de terreau de \(5\,\text{cm}\).
Étape 1 : Interpréter la configuration du jardin et de la plate-bande
On dispose d’un jardin rectangulaire de dimensions
\[
8\,\text{m}\times 6\,\text{m}.
\] La propriétaire décide d’ajouter une plate-bande de largeur
\(20\,\text{cm}\) (soit \(0{,}20\,\text{m}\)) le long de trois côtés
du jardin. On exclut l’un des côtés de longueur (nous supposerons que le
côté non concerné est celui situé en bas). Ainsi, la plate-bande sera
présente le long des côtés suivants : - La côté
supérieur (longueur de \(8\,\text{m}\)), - Le côté
gauche (largeur de \(6\,\text{m}\)), - Le côté
droit (largeur de \(6\,\text{m}\)).
Étape 2 : Calculer l’aire de la plate-bande
Pour faciliter le calcul, on considère la plate-bande sur chacun des trois côtés comme une bande rectangulaire de largeur \(0{,}20\,\text{m}\).
Bande supérieure :
La bande qui borde le côté supérieur a pour dimensions :
L’aire du bande supérieure est alors : \[ A_{\text{sup}} = 8 \times 0{,}20 = 1{,}6\,\text{m}^2. \]
Bande latérale gauche :
La bande qui borde le côté gauche a pour dimensions :
L’aire de la bande gauche est : \[ A_{\text{gauche}} = 6 \times 0{,}20 = 1{,}2\,\text{m}^2. \]
Bande latérale droite :
Même raisonnement pour la bande qui borde le côté droit (dimensions
identiques à la gauche) : \[
A_{\text{droite}} = 6 \times 0{,}20 = 1{,}2\,\text{m}^2.
\]
La plate-bande étant appliquée le long des trois côtés sans recouvrement (les bandes latérales s’arrêtent exactement à la limite où commence la bande supérieure), l’aire totale de la plate-bande est la somme des trois aires : \[ A_{\text{total}} = A_{\text{sup}} + A_{\text{gauche}} + A_{\text{droite}} = 1{,}6 + 1{,}2 + 1{,}2 = 4{,}0\,\text{m}^2. \]
Étape 3 : Calculer le volume de terreau
Sur cette plate-bande, une couche de terreau d’une épaisseur de \(5\,\text{cm}\) (soit \(0{,}05\,\text{m}\)) sera appliquée. Le volume \(V\) de terreau nécessaire se calcule en multipliant l’aire de la plate-bande par l’épaisseur du terreau : \[ V = A_{\text{total}} \times \text{épaisseur} = 4{,}0\,\text{m}^2 \times 0{,}05\,\text{m} = 0{,}20\,\text{m}^3. \]
Conclusion
Le volume de terreau nécessaire pour recouvrir la plate-bande est donc : \[ \boxed{0{,}20\,\text{m}^3.} \]
Ainsi, la propriétaire devra se procurer \(0{,}20\,\text{m}^3\) de terreau pour réaliser l’opération.