Exercice
Soit un prisme droit de hauteur \(70\,\text{cm}\). Sa base est un triangle
rectangle dont les côtés mesurent respectivement \(40\,\text{mm}\), \(5\,\text{cm}\) et \(30\,\text{mm}\).
Calculer le volume de ce prisme.
Le volume du prisme est 420 cm³.
Voici la correction détaillée de l’exercice.
Nous avons un prisme droit de hauteur \(70\,\text{cm}\). Sa base est un triangle rectangle dont les côtés mesurent respectivement \(40\,\text{mm}\), \(5\,\text{cm}\) et \(30\,\text{mm}\). Il faut calculer le volume de ce prisme.
Pour faciliter les calculs, nous allons convertir toutes les longueurs en centimètres.
Ainsi, les côtés du triangle sont de \(4\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm}\) et \(3\,\text{cm}\).
Nous reconnaissons ici la célèbre suite \(3\), \(4\), \(5\). Pour vérifier que le triangle est rectangle, nous utilisons le théorème de Pythagore.
On suppose que les côtés de \(3\,\text{cm}\) et \(4\,\text{cm}\) forment l’angle droit et \(5\,\text{cm}\) est l’hypoténuse. Vérifions :
\[ 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \quad \text{et} \quad 5^2 = 25. \]
Comme \(25 = 25\), le triangle est bien rectangle avec pour côtés perpendiculaires ceux mesurant \(3\,\text{cm}\) et \(4\,\text{cm}\).
L’aire \(A\) d’un triangle rectangle se calcule par :
\[ A = \frac{1}{2} \times \text{(longueur du premier côté)} \times \text{(longueur du deuxième côté)} \]
Ici, cela donne :
\[ A_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} \times 3\,\text{cm} \times 4\,\text{cm} = \frac{1}{2} \times 12\,\text{cm}^2 = 6\,\text{cm}^2. \]
Le volume \(V\) d’un prisme droit se calcule en multipliant l’aire de la base par la hauteur.
\[ V = A_{\text{base}} \times h \]
Avec \(A_{\text{base}} = 6\,\text{cm}^2\) et \(h = 70\,\text{cm}\), nous avons :
\[ V = 6\,\text{cm}^2 \times 70\,\text{cm} = 420\,\text{cm}^3. \]
Le volume du prisme est \(\boxed{420\,\text{cm}^3}\).