Exercice
Calculer le volume d’un prisme droit de hauteur \(35\text{ cm}\), dont la base est un trapèze disposant de côtés parallèles de longueurs \(13\text{ cm}\) et \(23\text{ cm}\) et d’une hauteur de \(15\text{ cm}\).
Le volume du prisme droit est de 9450 cm³.
Voici la correction détaillée de l’exercice :
Énoncé :
Calculer le volume d’un prisme droit de hauteur \(35\text{ cm}\), dont la base est un trapèze disposant de côtés parallèles de longueurs \(13\text{ cm}\) et \(23\text{ cm}\) et d’une hauteur de \(15\text{ cm}\).
La base du prisme est un trapèze. Pour trouver son aire, on utilise la formule :
\[ \text{Aire} = \frac{(b_1 + b_2)}{2} \times h \]
où : - \(b_1\) et \(b_2\) sont les longueurs des côtés parallèles, - \(h\) est la hauteur du trapèze.
Ici, on connaît : - \(b_1 = 13\text{ cm}\), - \(b_2 = 23\text{ cm}\), - \(h = 15\text{ cm}\).
On remplace dans la formule :
\[ \text{Aire} = \frac{(13 + 23)}{2} \times 15 \]
Calculons d’abord la somme des deux bases :
\[ 13 + 23 = 36 \]
Ensuite, la moyenne des bases est :
\[ \frac{36}{2} = 18 \]
Enfin, on calcule l’aire :
\[ \text{Aire} = 18 \times 15 = 270\text{ cm}^2 \]
Le volume \(V\) d’un prisme droit se calcule en multipliant l’aire de la base par la hauteur du prisme :
\[ V = \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur du prisme} \]
On a : - Aire de la base \(= 270\text{ cm}^2\), - Hauteur du prisme \(= 35\text{ cm}\).
On remplace dans la formule :
\[ V = 270 \times 35 \]
Pour effectuer ce calcul, on peut décomposer la multiplication :
\[ 270 \times 35 = 270 \times (30 + 5) = (270 \times 30) + (270 \times 5) \]
Calculons chaque terme :
\[ 270 \times 30 = 8100\text{ cm}^3 \] \[ 270 \times 5 = 1350\text{ cm}^3 \]
En additionnant ces deux résultats, nous obtenons :
\[ 8100 + 1350 = 9450\text{ cm}^3 \]
Le volume du prisme droit est donc :
\[ \boxed{9450\text{ cm}^3} \]