Exercice
Une boîte contient 100 petits cubes de \(2\, \text{cm}\) d’arête. On souhaite construire un grand cube en utilisant le plus grand nombre possible de ces petits cubes.
Voici la correction détaillée de l’exercice :
Une boîte contient 100 petits cubes de \(2\,\text{cm}\) d’arête. On souhaite construire un grand cube en utilisant le plus grand nombre possible de ces petits cubes.
Nous devons répondre aux questions suivantes :
Pour construire un grand cube, le nombre de petits cubes utilisés doit être un nombre cube parfait. En effet, si on place \(a\) petits cubes le long de chaque arête, le nombre total de petits cubes qui forment le grand cube sera : \[ a^3 \]
Nous devons choisir le plus grand entier \(a\) tel que : \[ a^3 \le 100. \]
Vérifions quelques valeurs : - Pour \(a = 3\) : \(3^3 = 27\) - Pour \(a = 4\) : \(4^3 = 64\) - Pour \(a = 5\) : \(5^3 = 125\)
Comme \(125\) dépasse \(100\), la plus grosse construction possible
utilise \(a = 4\).
Le nombre de petits cubes utilisés est donc : \[
4^3 = 64.
\]
Chaque petit cube a une arête de \(2\,\text{cm}\).
Comme le grand cube est obtenu en disposant 4 petits cubes le long de
chaque arête, la longueur de l’arête du grand cube est : \[
\text{Longueur} = 4 \times 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}.
\]
Le volume d’un cube se calcule par la formule : \[ V = (\text{arête})^3. \]
Ici, l’arête du grand cube mesure \(8\,\text{cm}\). On a donc : \[ V = 8^3 = 512\,\text{cm}^3. \]
Il est intéressant de remarquer que l’on peut également obtenir ce
résultat en multipliant le nombre de petits cubes utilisés par le volume
d’un petit cube.
Chaque petit cube a un volume de : \[
2^3 = 8\,\text{cm}^3.
\] Donc, le volume total des 64 petits cubes est : \[
64 \times 8 = 512\,\text{cm}^3.
\]
Nous avons commencé avec 100 petits cubes et nous en avons utilisé 64
pour construire le grand cube.
Le nombre de petits cubes restants est : \[
100 - 64 = 36.
\]
Ces 36 petits cubes ne permettent pas de construire un autre cube (car pour construire un cube, il faudrait un nombre de petits cubes qui soit un cube parfait, par exemple \(3^3 = 27\) ou \(4^3 = 64\)).
Cependant, on peut les utiliser pour construire un solide rectangulaire (un parallélépipède) ou toute autre forme souhaitée. Par exemple, on peut organiser ces 36 cubes en un parallélépipède aux dimensions en nombre de cubes satisfaisant : \[ \text{Produit des dimensions} = 36. \] Quelques possibilités de dimensions (exprimées en nombre de petits cubes) sont : - \(1 \times 6 \times 6\) - \(2 \times 3 \times 6\) - \(3 \times 3 \times 4\)
Ainsi, les 36 petits cubes restants peuvent être assemblés pour construire un parallélépipède rectangle ou toute autre figure géométrique intéressante.
Cette correction explique pas à pas comment on arrive aux réponses et permet de bien comprendre la démarche de construction d’un cube et l’utilisation des cubes restants.