Exercice 29

Exercice : Mesures sur des cubes

Les mesures suivantes concernent des cubes. Pour chaque cas, effectuez le calcul demandé :

1. Pour un cube dont l’arête mesure \(2\,\text{cm}\), calculez l’aire de sa base et son volume.
2. Pour un cube dont l’arête mesure \(0,4\,\text{m}\), calculez son volume.
3. Pour un cube dont l’aire de base est \(25\,\text{cm}^2\), déterminez la longueur de son arête et son volume.
4. Pour un cube dont l’aire de base est \(0,09\,\text{km}^2\), calculez son volume.
5. Pour un cube dont l’aire de base est \(3\,\text{cm}^2\), déterminez la longueur de son arête.
6. Pour un cube dont le volume est \(64\,\text{dm}^3\), déterminez la longueur de son arête et l’aire de sa base.
7. Pour un cube dont le volume est \(0,008\,\text{m}^3\), calculez l’aire de sa base.
8. Pour un cube dont le volume est \(343\,\text{mm}^3\), déterminez la longueur de son arête.
9. Pour un cube dont le volume est \(8000000\,\text{m}^3\), calculez la longueur de son arête.

Réponse

1. Cube de côté 2 cm : aire = 4 cm², volume = 8 cm³
   
2. Cube de côté 0,4 m : volume = 0,064 m³
   
3. Cube d’aire de base 25 cm² : côté = 5 cm, volume = 125 cm³
   
4. Cube d’aire de base 0,09 km² : côté = 0,3 km, volume = 0,027 km³
   
5. Cube d’aire de base 3 cm² : côté = √3 cm
   
6. Cube de volume 64 dm³ : côté = 4 dm, aire = 16 dm²
   
7. Cube de volume 0,008 m³ : côté = 0,2 m, aire = 0,04 m²
   
8. Cube de volume 343 mm³ : côté = 7 mm
   
9. Cube de volume 8 000 000 m³ : côté = 200 m

Corrigé détaillé

Ci-dessous, la correction complète avec toutes les étapes pour résoudre chaque question :

---

1. Cube de côté \(2\,\text{cm}\)

• Aire de la base
  La base d’un cube est un carré.
  \[ \text{Aire} = \text{côté}^2 = 2^2 = 4\,\text{cm}^2. \]

• Volume
  Le volume d’un cube est la mesure de son côté élevé à la puissance 3.
  \[ \text{Volume} = \text{côté}^3 = 2^3 = 8\,\text{cm}^3. \]

---

2. Cube de côté \(0,4\,\text{m}\)

• Volume
  \[ \text{Volume} = (0,4)^3 = 0,4 \times 0,4 \times 0,4 = 0,064\,\text{m}^3. \]

---

3. Cube dont l’aire de la base est \(25\,\text{cm}^2\)

• Longueur de l’arête
  On sait que pour un carré :
  \[ \text{Aire} = \text{côté}^2. \] Ainsi, la longueur de l’arête est :
  \[ \text{côté} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}. \]

• Volume
  \[ \text{Volume} = 5^3 = 125\,\text{cm}^3. \]

---

4. Cube dont l’aire de la base est \(0,09\,\text{km}^2\)

• Longueur de l’arête
  \[ \text{côté} = \sqrt{0,09} = 0,3\,\text{km}. \]

• Volume
  \[ \text{Volume} = (0,3)^3 = 0,3 \times 0,3 \times 0,3 = 0,027\,\text{km}^3. \]

---

5. Cube dont l’aire de la base est \(3\,\text{cm}^2\)

• Longueur de l’arête
  \[ \text{côté} = \sqrt{3}\,\text{cm}. \] (La racine carrée de 3 donne la mesure exacte de l’arête.)

---

6. Cube dont le volume est \(64\,\text{dm}^3\)

• Longueur de l’arête
  On recherche \(a\) tel que :
  \[ a^3 = 64\,\text{dm}^3. \] En prenant la racine cubique :
  \[ a = \sqrt[3]{64} = 4\,\text{dm}. \]

• Aire de la base
  \[ \text{Aire} = a^2 = 4^2 = 16\,\text{dm}^2. \]

---

7. Cube dont le volume est \(0,008\,\text{m}^3\)

• Longueur de l’arête
  \[ a^3 = 0,008\,\text{m}^3 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt[3]{0,008} = 0,2\,\text{m}. \]

• Aire de la base
  \[ \text{Aire} = (0,2)^2 = 0,04\,\text{m}^2. \]

---

8. Cube dont le volume est \(343\,\text{mm}^3\)

• Longueur de l’arête
  \[ a^3 = 343\,\text{mm}^3 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt[3]{343} = 7\,\text{mm}. \]

---

9. Cube dont le volume est \(8000000\,\text{m}^3\)

• Longueur de l’arête
  Pour trouver \(a\) tel que :
  \[ a^3 = 8000000\,\text{m}^3, \] on décompose 8000000 de la manière suivante :
  \[ 8000000 = 8 \times 1000000. \] Or,
  \[ \sqrt[3]{8} = 2 \quad \text{et} \quad \sqrt[3]{1000000} = 100. \] Ainsi,
  \[ a = 2 \times 100 = 200\,\text{m}. \]

---

Chaque réponse a été trouvée en appliquant les formules classiques liées aux cubes et en résolvant les équations correspondantes. Cette démarche permet de vérifier à chaque étape la cohérence des résultats.