Un aquarium en verre est un parallélépipède rectangle dont les aires de trois faces adjacentes sont \(100\,\text{cm}^2\), \(144\,\text{cm}^2\) et \(225\,\text{cm}^2\).
Calculer le volume de l’aquarium.
Le volume de l’aquarium est de 1800 cm³.
Pour résoudre ce problème, nous allons déterminer les dimensions de l’aquarium et ensuite calculer son volume. Soit \(a\), \(b\) et \(c\) les longueurs des arêtes de l’aquarium. On nous donne :
\[ ab = 100, \qquad ac = 144, \qquad bc = 225. \]
Le volume de l’aquarium est donné par :
\[ V = a \times b \times c. \]
En multipliant les trois égalités, nous obtenons :
\[ (ab) \times (ac) \times (bc) = 100 \times 144 \times 225. \]
Le côté gauche se met sous la forme :
\[ (ab)(ac)(bc) = a^2 b^2 c^2 = (abc)^2. \]
Donc, nous avons :
\[ (abc)^2 = 100 \times 144 \times 225. \]
Il est plus simple de remarquer que :
\[ 100 = 10^2,\quad 144=12^2,\quad 225=15^2. \]
Ainsi,
\[ 100 \times 144 \times 225 = 10^2 \times 12^2 \times 15^2 = (10 \times 12 \times 15)^2. \]
Calculons \(10 \times 12 \times 15\) :
\[ 10 \times 12 = 120 \quad \text{et} \quad 120 \times 15 = 1800. \]
On a donc :
\[ (abc)^2 = 1800^2. \]
Puisque \((abc)^2 = 1800^2\), alors :
\[ abc = 1800. \]
Ainsi, le volume de l’aquarium est :
\[ V = 1800\, \text{cm}^3. \]
Le volume de l’aquarium est \(\boxed{1800\, \text{cm}^3}\).
Cette méthode a permis d’utiliser les propriétés des produits et des racines carrées pour trouver le volume de l’aquarium rapidement et efficacement.