Voici un nouvel exercice :
Question : Complétez le tableau ci-dessous en indiquant pour chaque cylindre, les mesures manquantes.
| Cylindre 1 | Cylindre 2 | Cylindre 3 | Cylindre 4 | Cylindre 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| Hauteur du cylindre (en cm) | 8 | 12 | |||
| Rayon du disque de base (en cm) | 4 | 6 | |||
| Aire du disque de base (en cm²) | \(25\pi\) | ||||
| Aire latérale (en cm²) | \(96\pi\) | \(40\pi\) | \(56\pi\) | ||
| Aire totale (en cm²) | |||||
| Volume (en cm³) | \(216\pi\) | \(112\pi\) |
Rappel : Pour un cylindre de rayon \(r\) et de hauteur \(h\), on a
- Aire du disque de base : \(A_{\text{base}} =
\pi r^2\),
- Aire latérale : \(A_{\text{latérale}} = 2\pi
r h\),
- Aire totale : \(A_{\text{totale}} =
A_{\text{latérale}} + 2\pi r^2\),
- Volume : \(V = \pi r^2 h\).
Bonne réflexion !
Cylindre 1 : h = 8 cm, r = 4 cm, A_base = 16π, A_latérale = 64π,
A_totale = 96π, V = 128π.
Cylindre 2 : h = 12 cm, r = 4 cm (trouvé via A_latérale), A_base = 16π,
A_latérale = 96π, A_totale = 128π, V = 192π.
Cylindre 3 : r = 6 cm, h = 6 cm (trouvé via V), A_base = 36π, A_latérale
= 72π, A_totale = 144π, V = 216π.
Cylindre 4 : A_base = 25π conduit à r = 5 cm, h = 4 cm (via A_latérale =
40π), A_totale = 90π, V = 100π.
Cylindre 5 : Avec A_latérale = 56π et V = 112π, on trouve r = 4 cm et h
= 7 cm, A_base = 16π, A_totale = 88π.
Voici la correction détaillée de l’exercice.
Nous avons cinq cylindres avec certaines mesures manquantes. Pour un cylindre de rayon \(r\) et de hauteur \(h\), nous connaissons les formules suivantes :
Aire du disque de base :
\[
A_{\text{base}} = \pi r^2
\]
Aire latérale :
\[
A_{\text{latérale}} = 2\pi r h
\]
Aire totale :
\[
A_{\text{totale}} = A_{\text{latérale}} + 2\pi r^2 \quad (\text{car il y
a deux bases})
\]
Volume :
\[
V = \pi r^2 h
\]
Nous allons compléter les mesures pour chaque cylindre.
Données :
- Hauteur : \(h = 8\) cm
- Rayon : \(r = 4\) cm
Calcul de l’aire du disque de base :
\[
A_{\text{base}} = \pi r^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi \quad \text{(en
cm}^2\text{)}
\]
Calcul de l’aire latérale :
\[
A_{\text{latérale}} = 2\pi r h = 2\pi \times 4 \times 8 = 64\pi \quad
\text{(en cm}^2\text{)}
\]
Calcul de l’aire totale :
\[
A_{\text{totale}} = A_{\text{latérale}} + 2\pi r^2 = 64\pi + 2 \times
16\pi = 64\pi + 32\pi = 96\pi \quad \text{(en cm}^2\text{)}
\]
Calcul du volume :
\[
V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 8 = 128\pi \quad \text{(en
cm}^3\text{)}
\]
Données :
- Hauteur : \(h = 12\) cm
- Aire latérale donnée : \(96\pi\)
cm²
- Le rayon \(r\) est inconnu.
Détermination du rayon :
L’aire latérale est donnée par
\[
A_{\text{latérale}} = 2\pi r h = 2\pi r \times 12 = 24\pi r
\] Or, on a \(24\pi r = 96\pi\).
En simplifiant,
\[
24r = 96 \quad \Longrightarrow \quad r = \frac{96}{24} = 4 \text{ cm}
\]
Calcul de l’aire du disque de base :
\[
A_{\text{base}} = \pi r^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi \quad \text{(en
cm}^2\text{)}
\]
Calcul de l’aire totale :
\[
A_{\text{totale}} = A_{\text{latérale}} + 2\pi r^2 = 96\pi + 2 \times
16\pi = 96\pi + 32\pi = 128\pi \quad \text{(en cm}^2\text{)}
\]
Calcul du volume :
\[
V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 12 = 192\pi \quad \text{(en
cm}^3\text{)}
\]
Données :
- Rayon : \(r = 6\) cm
- Volume donné : \(216\pi\) cm³
- La hauteur \(h\) est inconnue.
Détermination de la hauteur :
Utilisons la formule du volume :
\[
V = \pi r^2 h \quad \Longrightarrow \quad \pi \times 6^2 \times h =
216\pi
\] Soit
\[
36\pi \times h = 216\pi \qquad \Longrightarrow \qquad 36h = 216 \quad
\Longrightarrow \quad h = \frac{216}{36} = 6 \text{ cm}
\]
Calcul de l’aire du disque de base :
\[
A_{\text{base}} = \pi r^2 = \pi \times 6^2 = 36\pi \quad \text{(en
cm}^2\text{)}
\]
Calcul de l’aire latérale :
\[
A_{\text{latérale}} = 2\pi r h = 2\pi \times 6 \times 6 = 72\pi \quad
\text{(en cm}^2\text{)}
\]
Calcul de l’aire totale :
\[
A_{\text{totale}} = A_{\text{latérale}} + 2\pi r^2 = 72\pi + 2 \times
36\pi = 72\pi + 72\pi = 144\pi \quad \text{(en cm}^2\text{)}
\]
Données :
- Aire du disque de base fournie : \(25\pi\) cm²
- Aire latérale : \(40\pi\) cm²
- Hauteur \(h\) et rayon \(r\) inconnus.
Détermination du rayon :
Puisque
\[
A_{\text{base}} = \pi r^2 = 25\pi,
\] on a
\[
r^2 = 25 \quad \Longrightarrow \quad r = 5 \text{ cm}
\]
Détermination de la hauteur :
L’aire latérale est donnée par
\[
A_{\text{latérale}} = 2\pi r h = 2\pi \times 5 \times h = 10\pi h
\] On a \(10\pi h = 40\pi\),
donc
\[
h = \frac{40\pi}{10\pi} = 4 \text{ cm}
\]
Calcul de l’aire totale :
\[
A_{\text{totale}} = A_{\text{latérale}} + 2\pi r^2 = 40\pi + 2 \times
25\pi = 40\pi + 50\pi = 90\pi \quad \text{(en cm}^2\text{)}
\]
Calcul du volume :
\[
V = \pi r^2 h = \pi \times 25 \times 4 = 100\pi \quad \text{(en
cm}^3\text{)}
\]
Données :
- Aire latérale : \(56\pi\) cm²
- Volume : \(112\pi\) cm³
- Les mesures directes de la hauteur \(h\) et du rayon \(r\) sont inconnues.
Étape 1 : Utilisation de l’aire latérale pour établir une
relation entre \(r\) et \(h\).
L’aire latérale est :
\[
A_{\text{latérale}} = 2\pi r h = 56\pi.
\] En simplifiant :
\[
2rh = 56 \quad \Longrightarrow \quad rh = 28.
\]
Étape 2 : Utilisation du volume pour établir une autre
relation.
Le volume s’exprime par :
\[
V = \pi r^2 h = 112\pi.
\] Simplifions :
\[
r^2 h = 112.
\]
Étape 3 : Diviser les deux équations pour trouver \(r\).
Divisons \(r^2 h\) par \(rh\) :
\[
\frac{r^2 h}{rh} = \frac{112}{28}
\quad \Longrightarrow \quad r = 4 \text{ cm}.
\]
Étape 4 : Trouver la hauteur \(h\) avec \(rh =
28\).
\[
4h = 28 \quad \Longrightarrow \quad h = \frac{28}{4} = 7 \text{ cm}.
\]
Calcul de l’aire du disque de base :
\[
A_{\text{base}} = \pi r^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi \quad \text{(en
cm}^2\text{)}
\]
Calcul de l’aire totale :
\[
A_{\text{totale}} = A_{\text{latérale}} + 2\pi r^2 = 56\pi + 2 \times
16\pi = 56\pi + 32\pi = 88\pi \quad \text{(en cm}^2\text{)}
\]
Le volume est déjà donné comme \(112\pi\) cm³.
| Cylindre 1 | Cylindre 2 | Cylindre 3 | Cylindre 4 | Cylindre 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| Hauteur (en cm) | 8 | 12 | 6 | 4 | 7 |
| Rayon (en cm) | 4 | 4 | 6 | 5 | 4 |
| Aire du disque de base (en cm²) | \(16\pi\) | \(16\pi\) | \(36\pi\) | \(25\pi\) | \(16\pi\) |
| Aire latérale (en cm²) | \(64\pi\) | \(96\pi\) | \(72\pi\) | \(40\pi\) | \(56\pi\) |
| Aire totale (en cm²) | \(96\pi\) | \(128\pi\) | \(144\pi\) | \(90\pi\) | \(88\pi\) |
| Volume (en cm³) | \(128\pi\) | \(192\pi\) | \(216\pi\) | \(100\pi\) | \(112\pi\) |
Chaque étape a permis de déterminer les valeurs manquantes en appliquant les formules des cylindres. N’oubliez pas que, dans chaque cylinder, les formules de l’aire du disque de base, de l’aire latérale, de l’aire totale et du volume sont essentielles pour retrouver les mesures manquantes à partir des informations disponibles.
Bonne continuation dans vos révisions !