Question : Complétez le tableau suivant. On considère trois prismes dont la base est un triangle.
| Prisme 1 | Prisme 2 | Prisme 3 | |
|---|---|---|---|
| Hauteur du prisme (en cm) | 6 | 3,5 | |
| Hauteur du triangle de la base (en cm) | 8 | 5 | |
| Longueur du côté correspondant à cette hauteur (en cm) | 9 | 10 | 7 |
| Aire de la base (en \(\mathrm{cm}^{2}\)) | 25 | ||
| Volume (en \(\mathrm{cm}^{3}\)) | 87,5 |
Prisme 1 : Aire = 36 cm² et Volume = 216 cm³.
Prisme 2 : Aire = 25 cm² et Volume = 87,5 cm³.
Prisme 3 : Les informations manquent pour calculer l’aire de la base et
le volume.
Voici la correction détaillée de l’exercice.
Rappel du problème :
On a trois prismes dont la base est un triangle. Pour chacun, on connaît
au moins deux informations permettant de calculer l’aire de la base du
prisme (un triangle) puis son volume, qui est obtenu en multipliant
l’aire de la base par la hauteur du prisme. Pour un triangle, si l’on
connaît l’altitude (la “hauteur du triangle”) et la longueur du côté sur
lequel cette altitude se projette (le “côté correspondant”), alors
l’aire du triangle se calcule à l’aide de la formule
\[
\text{Aire} = \frac{1}{2}\times (\text{hauteur du triangle})\times
(\text{longueur du côté correspondant}).
\] Le volume du prisme se calcule ensuite par
\[
\text{Volume} = \text{Aire de la base} \times (\text{hauteur du
prisme}).
\]
Le tableau à compléter est :
| Prisme 1 | Prisme 2 | Prisme 3 | |
|---|---|---|---|
| Hauteur du prisme (en cm) | 6 | 3,5 | |
| Hauteur du triangle de la base (en cm) | 8 | 5 | |
| Longueur du côté correspondant à cette hauteur (en cm) | 9 | 10 | 7 |
| Aire de la base (en cm²) | 25 | ||
| Volume (en cm³) | 87,5 |
Calcul de l’aire de la base :
Le triangle de la base a une hauteur de 8 cm et le côté correspondant
mesure 9 cm. On calcule : \[
\text{Aire} = \frac{1}{2} \times 8 \times 9 = \frac{72}{2} = 36 \quad
\text{cm}^2.
\] Ainsi, pour le prisme 1, l’aire de la base vaut 36
cm².
Calcul du volume :
La hauteur du prisme est donnée (6 cm). Le volume s’obtient par : \[
\text{Volume} = \text{Aire de la base} \times (\text{hauteur du prisme})
= 36 \times 6 = 216 \quad \text{cm}^3.
\] Pour le prisme 1, le volume est donc de 216 cm³.
Les données sont déjà cohérentes et permettent de vérifier les calculs :
Aire de la base :
La hauteur du triangle est 5 cm et le côté correspondant est 10 cm, ce
qui donne : \[
\text{Aire} = \frac{1}{2} \times 5 \times 10 = \frac{50}{2} = 25 \quad
\text{cm}^2.
\] Cette valeur est indiquée dans le tableau.
Volume :
La hauteur du prisme est 3,5 cm, ainsi : \[
\text{Volume} = 25 \times 3,5 = 87,5 \quad \text{cm}^3.
\] Ce résultat correspond bien à la donnée fournie (87,5
cm³).
Pour ce prisme, seules certaines informations sont données : - La longueur du côté correspondant à la hauteur dans le triangle de la base est 7 cm.
Les données manquantes sont :
- La hauteur du prisme - La hauteur du triangle
de la base
Sans connaître la hauteur du triangle, on ne peut pas calculer l’aire
de la base (car nous aurions besoin de connaître l’altitude pour
utiliser la formule \(\frac{1}{2} \times
\text{hauteur du triangle} \times 7\)). De même, sans la hauteur
du prisme, il est impossible de calculer le volume, puisque
\[
\text{Volume} = (\text{Aire de la base}) \times (\text{hauteur du
prisme}).
\]
Conclusion pour le prisme 3 :
Les informations fournies sont insuffisantes pour déterminer l’aire de
la base et le volume. On ne peut pas compléter ces cases du tableau.
| Prisme 1 | Prisme 2 | Prisme 3 | |
|---|---|---|---|
| Hauteur du prisme (en cm) | 6 | 3,5 | ? (information manquante) |
| Hauteur du triangle de la base (en cm) | 8 | 5 | ? (information manquante) |
| Longueur du côté correspondant à cette hauteur (en cm) | 9 | 10 | 7 |
| Aire de la base (en cm²) | 36 | 25 | ? (impossible à calculer sans la hauteur du triangle) |
| Volume (en cm³) | 216 | 87,5 | ? (impossible à calculer sans la hauteur du prisme et l’aire de la base) |
Prisme 1 :
\(\text{Aire de la base} = 36\) cm²,
\(\text{Volume} = 216\) cm³.
Prisme 2 :
Les valeurs sont déjà données et vérifiées.
Prisme 3 :
Les cases concernant la hauteur du prisme et la hauteur du triangle de
la base sont vides. Par conséquent, on ne peut pas calculer l’aire de la
base ni le volume avec les données disponibles.
Ainsi, le tableau ne peut être entièrement complété pour le prisme 3 en raison d’un manque d’informations.