Le socle en marbre d’une fontaine est constitué d’un cube de marbre de \(1,5\,\text{m}\) d’arête reposant sur une dalle carrée de marbre de \(2,0\,\text{m}\) de côté et de \(0,4\,\text{m}\) d’épaisseur.
Calculer la masse totale du socle en sachant que \(1\,\text{cm}^3\) de marbre pèse \(2,7\,\text{g}\).
En recouvrant entièrement le socle de papier d’emballage festif, déterminer l’aire de papier utilisée.
Voici la correction détaillée de l’exercice.
On a un socle constitué de : - Un cube de marbre de \(1{,}5\,\text{m}\) d’arête, - Une dalle carrée de marbre de \(2{,}0\,\text{m}\) de côté et de \(0{,}4\,\text{m}\) d’épaisseur.
On connaît aussi la masse volumique du marbre : \[ 1\,\text{cm}^3 \text{ de marbre pèse } 2{,}7\,\text{g}. \]
Question a) Calculer la masse totale du socle.
Question b) En recouvrant entièrement le socle de papier d’emballage festif, déterminer l’aire de papier utilisée.
La densité fournie est en grammes par centimètre cube, il est préférable d’exprimer les dimensions en centimètres.
Pour le cube : \[ 1{,}5\,\text{m} = 150\,\text{cm}. \]
Pour la dalle : - Côté : \(2{,}0\,\text{m} = 200\,\text{cm}\), - Épaisseur : \(0{,}4\,\text{m} = 40\,\text{cm}\).
Le volume d’un cube de côté \(a\) est donné par : \[ V_{\text{cube}} = a^3. \] Ici, \[ V_{\text{cube}} = 150^3 = 150 \times 150 \times 150. \] Calculons étape par étape : - \(150 \times 150 = 22500\), - \(22500 \times 150 = 3\,375\,000\,\text{cm}^3\).
Donc, \[ V_{\text{cube}} = 3\,375\,000\,\text{cm}^3. \]
Le volume d’un parallélépipède rectangle est : \[ V = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur}. \] Pour la dalle, \[ V_{\text{dalle}} = 200\,\text{cm} \times 200\,\text{cm} \times 40\,\text{cm}. \] Calculons : - \(200 \times 200 = 40\,000\), - \(40\,000 \times 40 = 1\,600\,000\,\text{cm}^3\).
Donc, \[ V_{\text{dalle}} = 1\,600\,000\,\text{cm}^3. \]
Le volume total est la somme du volume du cube et de celui de la dalle : \[ V_{\text{total}} = V_{\text{cube}} + V_{\text{dalle}} = 3\,375\,000 + 1\,600\,000 = 4\,975\,000\,\text{cm}^3. \]
On sait que \[ 1\,\text{cm}^3 \text{ de marbre pèse } 2{,}7\,\text{g}. \] La masse totale en grammes est donc : \[ m = V_{\text{total}} \times 2{,}7 = 4\,975\,000 \times 2{,}7\,\text{g}. \] Calculons : \[ 4\,975\,000 \times 2{,}7 = 13\,432\,500\,\text{g}. \]
Pour convertir en kilogrammes, on utilise : \[ 1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}. \] Ainsi, \[ m = \frac{13\,432\,500}{1000} = 13\,432{,}5\,\text{kg}. \]
Réponse a) La masse totale du socle est de \(13\,432{,}5\,\text{kg}\).
Le but est de trouver l’aire totale des surfaces extérieures (toutes les faces exposées) du socle une fois le cube posé sur la dalle. Pour cela, il faut calculer les aires de chaque partie en évitant de compter deux fois les zones de contact.
Le socle est obtenu par l’union de deux solides : - La dalle (un parallélépipède de base carrée de \(2{,}0\,\text{m}\) et d’épaisseur \(0{,}4\,\text{m}\)). - Le cube (\(1{,}5\,\text{m}\) d’arête) reposant sur le centre de la dalle.
On remarquera que la face inférieure du cube (son côté qui repose sur la dalle) et la partie recouverte de la dalle sur son dessus ne seront pas visibles.
Face supérieure de la dalle visible
La dalle ayant une face supérieure de \(2{,}0\,\text{m} \times 2{,}0\,\text{m}\),
son aire totale est : \[
A_{\text{haut dalle}} = 2^2 = 4\,\text{m}^2.
\] Mais le cube recouvre une partie de cette face : l’empreinte
du cube est un carré de côté \(1{,}5\,\text{m}\), d’aire : \[
A_{\text{contact cube-dalle}} = (1{,}5)^2 = 2{,}25\,\text{m}^2.
\] La portion visible de la face supérieure de la dalle est donc
: \[
A_{\text{sup. dalle visible}} = 4 - 2{,}25 = 1{,}75\,\text{m}^2.
\]
Face inférieure de la dalle
Elle est entièrement visible : \[
A_{\text{bas dalle}} = 2^2 = 4\,\text{m}^2.
\]
Les faces latérales de la dalle
La dalle est un parallélépipède de dimensions \(2\,\text{m} \times 2\,\text{m} \times
0{,}4\,\text{m}\).
Chaque face latérale (il y en a 4) a pour dimensions une longueur égale
au côté du carré et une hauteur égale à l’épaisseur. \[
A_{\text{face latérale}} = 2\,\text{m} \times 0{,}4\,\text{m} =
0{,}8\,\text{m}^2.
\] Ainsi, pour les 4 faces : \[
A_{\text{latérales dalle}} = 4 \times 0{,}8 = 3{,}2\,\text{m}^2.
\]
Total pour la dalle : \[ A_{\text{dalle}} = (1{,}75 + 4) + 3{,}2 = 5{,}75 + 3{,}2 = 8{,}95\,\text{m}^2. \]
Le cube a 6 faces de même aire \((1{,}5\,\text{m} \times 1{,}5\,\text{m} =
2{,}25\,\text{m}^2)\).
Cependant, la face inférieure du cube (celle en contact avec la dalle)
n’est pas visible.
Ainsi, seules 5 faces sont à considérer : \[
A_{\text{cube}} = 5 \times 2{,}25 = 11{,}25\,\text{m}^2.
\]
En additionnant les aires visibles de la dalle et du cube, on obtient : \[ A_{\text{total}} = A_{\text{dalle}} + A_{\text{cube}} = 8{,}95 + 11{,}25 = 20{,}2\,\text{m}^2. \]
Réponse b) L’aire de papier d’emballage utilisée est de \(20{,}2\,\text{m}^2\).