Dessine le développement d’un parallélépipède rectangle sur une feuille rectangulaire de dimensions \(14 \text{ cm} \times 20 \text{ cm}\), puis calcule son volume.
Le parallélépipède a pour dimensions 5 cm, 3 cm, et 4 cm. Son développement (deux faces de 5×3 cm, deux de 5×4 cm et deux de 3×4 cm) s’inscrit dans une feuille de 14×20 cm et son volume est de 60 cm³.
Voici une correction détaillée de l’exercice.
Nous devons réaliser deux tâches : - Dresser le développement (ou la “net”) d’un parallélépipède rectangle sur une feuille rectangulaire de dimensions \(14\,\text{cm} \times 20\,\text{cm}\). - Calculer le volume du parallélépipède.
Le parallélépipède rectangle possède trois dimensions (longueur, largeur, hauteur) perpendiculaires entre elles. Pour le volume, la formule est : \[ V = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur}. \]
Pour réaliser le développement sur la feuille, il faut choisir des dimensions qui permettent de disposer toutes les faces sur un rectangle de \(14\,\text{cm} \times 20\,\text{cm}\). Un parallélépipède rectangle possède 6 faces : - Deux faces identiques de dimensions « longueur × largeur ». - Deux faces identiques de dimensions « longueur × hauteur ». - Deux faces identiques de dimensions « largeur × hauteur ».
Une présentation classique du développement consiste à placer la face « longueur × largeur » au centre, et à faire « sortir » autour de cette face les autres rectangles.
Exemple de choix de dimensions :
Choisissons : - Longueur \(L = 5\,\text{cm}\) - Largeur \(l = 3\,\text{cm}\) - Hauteur \(h = 4\,\text{cm}\)
Vérifions que le développement de ces dimensions peut être disposé sur une feuille de \(14\,\text{cm} \times 20\,\text{cm}\).
Dans un développement commun, on peut disposer ainsi les faces : - La face centrale a pour dimensions \(5 \times 3\). - À gauche et à droite de cette face, on place les rectangles de dimensions \(4 \times 3\). - Au-dessus et en-dessous, on place les rectangles de dimensions \(5 \times 4\).
Calculons la longueur totale du développement horizontal :
Calculons la hauteur totale du développement vertical :
Le développement occupe donc une zone de \(13\,\text{cm} \times 11\,\text{cm}\) qui s’inscrit dans la feuille de \(14\,\text{cm} \times 20\,\text{cm}\).
Sur votre feuille, vous pouvez procéder ainsi :
Dessiner la face centrale :
Tracez un rectangle de \(5\,\text{cm}\)
de long et \(3\,\text{cm}\) de haut au
centre de la feuille.
Ajouter les faces latérales :
Ajouter les faces supérieure et inférieure :
Placer la dernière face :
La sixième face (identique à l’autre face rectangulaire de dimensions
\(4\,\text{cm} \times 5\,\text{cm}\))
peut être placée à côté d’un des rectangles déjà dessinés (par exemple,
à droite du rectangle supérieur ou inférieur) de façon à ce que toutes
les faces soient reliées par un bord.
Le développement complet correspond alors à la totalité des 6 rectangles assemblés de façon à pouvoir être repliés pour former le parallélépipède rectangle.
Une fois les dimensions choisies, le volume du parallélépipède rectangle se calcule en multipliant les trois dimensions (longueur, largeur, hauteur) : \[ V = L \times l \times h. \] Ici, en remplaçant par les valeurs choisies : \[ V = 5\,\text{cm} \times 3\,\text{cm} \times 4\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^3. \]
Nous avons dessiné le développement d’un parallélépipède rectangle dont les faces ont les dimensions :
Ce développement s’inscrit dans une feuille de \(14\,\text{cm} \times 20\,\text{cm}\).
Le volume du parallélépipède rectangle est : \[ 5\,\text{cm} \times 3\,\text{cm} \times 4\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^3. \]
Ainsi, le parallélépipède rectangle a un volume de \(60\,\text{cm}^3\).