Une pataugeoire municipale a un fond de \(32\,\text{m}\) de longueur, \(18\,\text{m}\) de largeur et une profondeur de \(1,80\,\text{m}\).
Le fond et les parois latérales sont recouverts de carreaux carrés de \(12\,\text{cm}\) de côté.
Combien de carreaux seront nécessaires ?
Quelle est la capacité totale de la pataugeoire ?
Nous allons résoudre cet exercice en deux parties en procédant étape par étape.
Remarque : Pour les calculs, il est pratique de mettre toutes les mesures dans la même unité. Ici, nous allons utiliser les centimètres pour la surface à carreler.
Les zones à carreler sont : - Le fond (la base de la pataugeoire) - Les parois latérales (les murs verticaux de la pataugeoire)
Les dimensions du fond en mètres sont \(32\,\text{m} \times 18\,\text{m}\).
Pour utiliser les centimètres : - \(32\,\text{m} = 3200\,\text{cm}\)
- \(18\,\text{m} =
1800\,\text{cm}\)
La surface du fond est donc : \[ S_{\text{fond}} = 3200\,\text{cm} \times 1800\,\text{cm} = 5\,760\,000\,\text{cm}^2. \]
Il y a deux types de parois latérales :
Les parois de longueur :
Chaque paroi a pour dimensions :
Surface d’une paroi de longueur : \[ S_{\text{long}} = 3200\,\text{cm} \times 180\,\text{cm} = 576\,000\,\text{cm}^2. \]
Comme il y a 2 parois de ce type : \[ S_{\text{long total}} = 2 \times 576\,000\,\text{cm}^2 = 1\,152\,000\,\text{cm}^2. \]
Les parois de largeur :
Chaque paroi a pour dimensions :
Surface d’une paroi de largeur : \[ S_{\text{larg}} = 1800\,\text{cm} \times 180\,\text{cm} = 324\,000\,\text{cm}^2. \]
Comme il y a aussi 2 parois : \[ S_{\text{larg total}} = 2 \times 324\,000\,\text{cm}^2 = 648\,000\,\text{cm}^2. \]
La surface totale est la somme de la surface du fond et des surfaces des parois latérales : \[ S_{\text{total}} = S_{\text{fond}} + S_{\text{long total}} + S_{\text{larg total}}. \] En remplaçant par les valeurs obtenues : \[ S_{\text{total}} = 5\,760\,000 + 1\,152\,000 + 648\,000 = 7\,560\,000\,\text{cm}^2. \]
Chaque carreau est un carré de \(12\,\text{cm}\) de côté.
La surface d’un carreau est : \[
S_{\text{carreau}} = 12\,\text{cm} \times 12\,\text{cm} =
144\,\text{cm}^2.
\]
Le nombre de carreaux nécessaires est : \[ \text{Nombre de carreaux} = \frac{S_{\text{total}}}{S_{\text{carreau}}} = \frac{7\,560\,000}{144}. \]
Calculons cette division : \[ \frac{7\,560\,000}{144} = 52\,500. \]
Réponse a) : Il faudra 52 500 carreaux.
La capacité, ou volume, d’un solide rectangulaire se calcule par la formule : \[ V = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{profondeur}. \]
En remplaçant par les dimensions données (en mètres) : \[ V = 32\,\text{m} \times 18\,\text{m} \times 1{,}80\,\text{m}. \]
Calculons étape par étape : 1. \(32 \times 18 = 576\). 2. Ensuite, \(576 \times 1{,}80 = 576 \times 1{,}8\).
Pour multiplier \(576 \times 1{,}8\) : \[ 576 \times 1{,}8 = 576 \times \left(2 - 0{,}2\right) = 576 \times 2 - 576 \times 0{,}2. \] - \(576 \times 2 = 1152\). - \(576 \times 0{,}2 = 115{,}2\).
Ainsi, \[ 1152 - 115{,}2 = 1036{,}8. \]
Réponse b) : La capacité totale de la pataugeoire est de 1036,8 m³.
Ces étapes permettent de comprendre comment obtenir les réponses en effectuant des conversions d’unités, le calcul des aires, puis l’application des formules de volume.