Un puits de section circulaire a une profondeur de \(24\,\text{m}\) et un rayon de \(1\,\text{m}\). Le niveau d’eau se situe à \(40\%\) de la hauteur totale du puits.
Réponses succinctes :
Voici la correction détaillée de l’exercice.
On dispose d’un puits de section circulaire de profondeur \(24\,\text{m}\) et de rayon \(1\,\text{m}\). Le niveau d’eau se situe à \(40\%\) de la hauteur totale du puits.
Nous devons répondre aux questions suivantes :
Calcul de la hauteur d’eau :
Le niveau d’eau est à \(40\%\) de la
profondeur totale du puits.
La hauteur d’eau est donc : \[
h_{\text{eau}} = 0,40 \times 24\,\text{m} = 9,6\,\text{m}
\]
Calcul du volume d’eau :
Le puits est un cylindre de rayon \(r =
1\,\text{m}\).
On utilise la formule : \[
V_{\text{eau}} = \pi r^2 \times h_{\text{eau}} = \pi \times
(1\,\text{m})^2 \times 9,6\,\text{m} = 9,6\pi\,\text{m}^3.
\]
On peut aussi exprimer ce volume en litres si besoin, sachant que \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{L}\) : \[ V_{\text{eau}} = 9,6\pi \times 1000 \approx 9600\pi\,\text{L}. \]
Calcul de la hauteur d’eau :
Si le puits est rempli aux trois-quarts, la hauteur d’eau devient : \[ h_{\text{eau}} = \frac{3}{4} \times 24\,\text{m} = 18\,\text{m}. \]
Calcul du volume d’eau :
En utilisant la formule du volume d’un cylindre pour un rayon \(r = 1\,\text{m}\) : \[ V_{\text{eau}} = \pi r^2 \times h_{\text{eau}} = \pi \times 1^2 \times 18 = 18\pi\,\text{m}^3. \]
Calcul du volume complet du puits :
Quand le puits est plein, la hauteur \(h =
24\,\text{m}\) et le rayon \(r =
1\,\text{m}\).
Le volume total est : \[
V_{\text{total}} = \pi r^2 h = \pi \times 1^2 \times 24 =
24\pi\,\text{m}^3.
\]
Conversion en litres :
\[ V_{\text{total}} = 24\pi\,\text{m}^3 \times 1000 = 24000\pi\,\text{L}. \]
Calcul du nombre de bidons :
Chaque bidon a un volume de \(15\,\text{L}\).
Le nombre de bidons remplissables est : \[
\text{Nombre de bidons} = \frac{24000\pi}{15} = 1600\pi.
\]
On obtient ainsi une expression exacte. Pour obtenir une valeur approchée, en utilisant \(\pi \simeq 3,14\) : \[ 1600\pi \approx 1600 \times 3,14 \approx 5024. \] Ainsi, environ \(5024\) bidons peuvent être remplis.
Détermination du nouveau rayon :
Le nouveau rayon est deux fois le rayon initial : \[ r_{\text{nouveau}} = 2\,\text{m}. \]
Calcul du volume du nouveau puits (plein) :
Le nouveau volume est obtenu avec la formule (la hauteur reste \(24\,\text{m}\)) : \[ V_{\text{nouveau}} = \pi r_{\text{nouveau}}^2 h = \pi \times (2)^2 \times 24 = \pi \times 4 \times 24 = 96\pi\,\text{m}^3. \]
Conversion en litres :
\[ V_{\text{nouveau}} = 96\pi\,\text{m}^3 \times 1000 = 96000\pi\,\text{L}. \]
Calcul du nombre de bouteilles de \(0,5\,\text{L}\) :
Chaque bouteille contient \(0,5\,\text{L}\). Alors, \[ \text{Nombre de bouteilles} = \frac{96000\pi}{0,5} = 192000\pi. \]
Pour une valeur approchée, en utilisant \(\pi \simeq 3,14\) : \[ 192000\pi \approx 192000 \times 3,14 \approx 602880. \] On pourra donc remplir environ \(602880\) bouteilles.
Volume d’eau (niveau à 40 %) :
\(\displaystyle 9,6\pi\,\text{m}^3\)
(soit environ \(9,6\pi \times 1000 \approx
9600\pi\,\text{L}\)).
Volume d’eau (rempli aux trois-quarts) :
\(\displaystyle
18\pi\,\text{m}^3\).
Nombre de bidons de \(15\,\text{L}\) quand le puits est
plein :
\(\displaystyle 1600\pi\), ce qui donne
environ \(5024\) bidons.
Nombre de bouteilles de \(0,5\,\text{L}\) avec un puits ayant un
rayon de \(2\,\text{m}\)
(plein) :
\(\displaystyle 192000\pi\), soit
environ \(602880\) bouteilles.
Cette démarche vous permet de comprendre comment appliquer la formule du volume d’un cylindre, de convertir les unités en litres, et d’effectuer les divisions pour obtenir le nombre d’objets nécessaires en fonction des volumes.