Un récipient cylindrique en céramique possède des parois et un fond d’une épaisseur de \(4\,\text{mm}\). Son diamètre extérieur est de \(14\,\text{cm}\) et sa hauteur de \(25,5\,\text{cm}\).
Déterminez le volume de liquide qu’il peut contenir.
Le volume intérieur du récipient est d’environ 3435,5 cm³, ce qui correspond à environ 3,44 L.
Nous allons déterminer le volume intérieur du récipient, c’est-à-dire celui que le liquide peut occuper. Pour cela, il faut connaître le rayon et la hauteur intérieurs du cylindre.
L’épaisseur des parois et du fond est donnée en millimètres et doit être convertie en centimètres pour correspondre aux autres dimensions.
\[ 4\,\text{mm} = 0{,}4\,\text{cm} \]
Le récipient a un diamètre extérieur de \(14\,\text{cm}\), donc son rayon extérieur est :
\[ R_{\text{ext}} = \frac{14}{2} = 7\,\text{cm} \]
Les parois ont une épaisseur de \(0{,}4\,\text{cm}\). Ainsi, le rayon intérieur se trouve en retranchant cette épaisseur :
\[ R_{\text{int}} = R_{\text{ext}} - 0{,}4 = 7 - 0{,}4 = 6{,}6\,\text{cm} \]
La hauteur totale du récipient est de \(25{,}5\,\text{cm}\). Le fond, qui a une épaisseur de \(0{,}4\,\text{cm}\), réduit la hauteur intérieure accessible au liquide :
\[ h_{\text{int}} = 25{,}5\,\text{cm} - 0{,}4\,\text{cm} = 25{,}1\,\text{cm} \]
Le volume \(V\) d’un cylindre se calcule avec la formule :
\[ V = \pi R_{\text{int}}^2 \times h_{\text{int}} \]
En remplaçant par les valeurs trouvées :
\[ V = \pi \times (6{,}6)^2 \times 25{,}1 \]
Calculons \(R_{\text{int}}^2\) :
\[ 6{,}6^2 = 43{,}56\,\text{cm}^2 \]
Puis le produit avec la hauteur :
\[ 43{,}56 \times 25{,}1 \approx 1093{,}356\,\text{cm}^3 \]
D’où :
\[ V \approx 1093{,}356 \pi\,\text{cm}^3 \]
Pour obtenir une valeur numérique approchée (en utilisant \(\pi \approx 3{,}14\)) :
\[ V \approx 1093{,}356 \times 3{,}14 \approx 3435{,}5\,\text{cm}^3 \]
Le volume de liquide que le récipient peut contenir est donc d’environ :
\[ \boxed{3435{,}5\,\text{cm}^3} \]
Ce volume peut aussi être exprimé en litres (puisque \(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{L}\)) :
\[ \text{Volume} \approx 3{,}44\,\text{L} \]