Question : Calculer le volume d’un cylindre de rayon \(25\,\mathrm{mm}\) et de hauteur \(50\,\mathrm{mm}\). Déterminer également son aire latérale et son aire totale.
Volume = 31250 π mm³
Aire latérale = 2500 π mm²
Aire totale = 3750 π mm²
Nous allons déterminer le volume, l’aire latérale et l’aire totale d’un cylindre de rayon \(r = 25\,\mathrm{mm}\) et de hauteur \(h = 50\,\mathrm{mm}\).
Le volume \(V\) d’un cylindre se
calcule avec la formule : \[
V = \pi r^2 h
\] Étapes :
- Calculer \(r^2\) :
\[
r^2 = 25^2 = 625\,\mathrm{mm}^2
\] - Multiplier par la hauteur \(h\) :
\[
625 \times 50 = 31250\,\mathrm{mm}^3
\] - Multiplier par \(\pi\)
:
\[
V = 31250\,\pi\,\mathrm{mm}^3
\]
Donc, le volume du cylindre est : \[ \boxed{31250\,\pi\,\mathrm{mm}^3} \]
L’aire latérale \(A_{\text{lat}}\)
d’un cylindre est donnée par : \[
A_{\text{lat}} = 2\pi r h
\] Étapes :
- Multiplier \(r\) par \(h\) :
\[
25 \times 50 = 1250\,\mathrm{mm}^2
\] - Multiplier par \(2\pi\)
:
\[
A_{\text{lat}} = 2\pi \times 1250 = 2500\,\pi\,\mathrm{mm}^2
\]
Donc, l’aire latérale du cylindre est : \[ \boxed{2500\,\pi\,\mathrm{mm}^2} \]
L’aire totale \(A_{\text{tot}}\)
d’un cylindre comprend l’aire latérale plus l’aire des deux bases
circulaires. La formule est : \[
A_{\text{tot}} = A_{\text{lat}} + 2\pi r^2
\] Étapes :
- D’abord, calculer l’aire d’une base :
\[
\pi r^2 = \pi \times 625 = 625\,\pi\,\mathrm{mm}^2
\] - Multiplier par 2 pour les deux bases :
\[
2 \times 625\,\pi = 1250\,\pi\,\mathrm{mm}^2
\] - Ajouter l’aire latérale :
\[
A_{\text{tot}} = 2500\,\pi + 1250\,\pi = 3750\,\pi\,\mathrm{mm}^2
\]
Donc, l’aire totale du cylindre est : \[ \boxed{3750\,\pi\,\mathrm{mm}^2} \]
Chaque étape a été suivie en utilisant les formules standards pour un cylindre. Ces résultats vous permettent de vérifier que la méthode est correcte et que les calculs respectent les unités utilisées.